數(shù)列教案教學(xué)設(shè)計(jì)
1．考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問(wèn)題．
2．考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用．
【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】
1．掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等．
2．掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法．
基礎(chǔ)梳理
1．等差數(shù)列的定義
如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中項(xiàng)
如果A＝a＋b2A叫做a與b的等差中項(xiàng)．
4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，
則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)．
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，?(k，m∈N)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝； 2
若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．
5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an，則Sn＝
前n項(xiàng)和公式為Sn＝na1＋***ndna1＋an2{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其nn－12d.
6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
dd?Sn＝n2＋?a1n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 2?2?
7．最值問(wèn)題
在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值． 一個(gè)推導(dǎo)
利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋?＋an，①
Sn＝an＋an－1＋?＋a1，②
�、伲诘茫篠n 兩個(gè)技巧 已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元．
(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為?，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，?.
(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為?，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，?，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．
四種方法 等差數(shù)列的判斷方法
(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)；
(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N)都成立；
(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q；
(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An＋Bn.
注 后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列．
課堂自測(cè)
1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝12，則a5等于( )．
A．4B．5C．6D．7
解析 a2＋a8＝2a5，∴a5＝6. 答案 C
2．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于
( )．
A．31B．32C．33D．34 2*??a1＋5d＝2，解析由已知可得??5a1＋10d＝30，? 26a＝，??3解得?4d??31 8×7∴S8＝8a1＋＝32.答案 B 2
3．(2011·江西)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝( )．
A．1B．9C．10D．55
解析 由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10?a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1. 答案 A
4．(2012·杭州)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于( )．
A．13B．35C．49D．63
7解析 ∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝a1＋a72＝49.答案 C
5．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________.
解析 設(shè)公差為d. 則a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案 13
考向一 等差數(shù)列基本量的計(jì)算
【例1】?(2011·福建)在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．
[審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)，求公差d；
第(2)問(wèn)，由(1)求Sn，列方程可求k.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.
解得d＝－2.從而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n.
22進(jìn)而由Sk＝－35可得2k－k＝－35.
即k－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N，故k＝7為所求．
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量，知三可求二，如果已知
兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之．如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以．體現(xiàn)了用方程思想解決問(wèn)題的方法．
【訓(xùn)練1】 (2011·湖北)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．
考向二 等差數(shù)列的判定或證明
1【例2】?已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. 2
?1?(1)求證：?是等差數(shù)列； ?Sn?*2
[審題視點(diǎn)] (1)化簡(jiǎn)所給式子，然后利用定義證明．
(2)根據(jù)Sn與an之間關(guān)系求an.
(1)證明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，
11∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－2(n≥2)． SnSn－1
?1?11由等差數(shù)列的定義知?是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
S1a1?Sn?
等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法，而對(duì)于通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和
公式法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷．
【訓(xùn)練2】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.
(1)求Sn；
(2)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
考向三 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
【例3】?設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值．
[審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)：列方程組求a1與d；
第(2)問(wèn)：由(1)寫出前n項(xiàng)和公式，利用函數(shù)思想解決．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
??a1＋2d＝5，??a1＋9d＝－9，? ??a1＝9，可解得??d＝－2.?
數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na12nn－12＝10n－n2. 因?yàn)镾n＝－(n－5)＋25，所以當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值．
求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：
(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．
(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An＋Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【訓(xùn)練3】 在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，2Sn取得最大值，并求出它的最大值．
考向四 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
【例4】?設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，Sn＝324，最后6項(xiàng)的和為180(n＞6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.
[審題視點(diǎn)] 在等差數(shù)列 {an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)用此性質(zhì)可優(yōu)化解題過(guò)程．
解 由題意可知a1＋a2＋?＋a6＝36① *
an＋an－1＋an－2＋?＋an－5＝180②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋?＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216. ∴a1＋an＝36.又Sn＝
∴18n＝324.
∴n＝
18.
本題的解題關(guān)鍵是將性質(zhì)m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq與前n項(xiàng)和公式Sn＝na1＋an2324，
na1＋an2結(jié)合在一起，采用整體思想，簡(jiǎn)化解題過(guò)程．
【訓(xùn)練4】 (1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝－7，且滿足an＋1＝an＋2(n∈N＋)，則a1＋a2＋?＋a17＝________.
(2)等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于________．
【試一試】 已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足： Sn＝(an＋2)2.
(1)求證：{an}為等差數(shù)列．
1(2)若bnan－30.求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值． 2
12[嘗試解答] (1)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝(a1＋2)， 8
∴(a1－2)＝0，∴a1＝2.
1122當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an＋2)－(an－1＋2)， 88
∴an－an－1＝4，
∴{an}為等差數(shù)列．
(2)由(1)知：an＝a1＋(n－1)4＝4n－2，
131由bn＝n－30＝2n－31≤0得n≤22
∴{bn}的前15項(xiàng)之和最小，且最小值為－225.
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