分數(shù)階統(tǒng)計分布與金融投資分析論文

　　摘要：在金融投資領(lǐng)域，常會遇到根據(jù)歷史行情對未來行情走勢進行預(yù)測的問題，對此本文通過樣本總體分布判斷，建立Lévy穩(wěn)定分布決策模型擬合數(shù)據(jù)，求解分布統(tǒng)計量。根據(jù)分布統(tǒng)計量求解金融投資的兩大重要參數(shù)，最終得到企業(yè)金融投資決策問題的一類優(yōu)選方法。

　　關(guān)鍵詞：Lévy穩(wěn)定分布；置信區(qū)間；金融投資；正態(tài)分布

　　1、分數(shù)階統(tǒng)計分布簡介

　　分數(shù)階統(tǒng)計分布及其隨機過程是一類廣泛應(yīng)用于描述非高斯變量和非馬爾科夫過程的統(tǒng)計方法。Lévy穩(wěn)定分布是一種具有冪律特征的分數(shù)階統(tǒng)計分布，其概率密度或累計分布曲線表現(xiàn)為尖峰拖尾特征，尾部為冪律衰減，對應(yīng)的隨機過程可以描述長程相關(guān)性和突發(fā)性。1963年Mandelbrot首次將其用于金融領(lǐng)域。

　　2、問題引入

　　金融市場與一般商品市場的根本區(qū)別在于它的收益的不確定性，在日趨復(fù)雜的市場條件下，想要在變幻莫測的金融市場中作出合理的、科學(xué)的決策，采用合理的數(shù)學(xué)方法，從經(jīng)驗投資向科學(xué)投資發(fā)展至關(guān)重要�，F(xiàn)有一公司欲拿出1000萬元流動資金進行股票投資，該公司在過去的255個股票交易日中的日收益額（如表1所示）。該公司打算根據(jù)上述歷史行情進行決策，其中日均十萬元損失率與置信度95%的日均損失額為兩個重要的參考指標。本文使用分數(shù)階統(tǒng)計分布方法對該問題進行求解。3模型假設(shè)(1)假定表1中的數(shù)據(jù)為每天結(jié)算一次且保持每天在市場上的投資額為1000萬元。(2)由于市場受眾多隨機因素影響，因此認為每天公司收益額數(shù)據(jù)之間相關(guān)性極弱，近似認為相互獨立。(3)所給數(shù)據(jù)具有真實性、代表性、可靠性。即忽略統(tǒng)計誤差，排除人為因素，認為此數(shù)據(jù)是正常市場投資的結(jié)果。

　　4、模型的求解

　　4.1基于分數(shù)階統(tǒng)計分布的投資決策模型

　　Lévy穩(wěn)定分布是一類分數(shù)階統(tǒng)計分布，該分布的概率密度函數(shù)具有尖峰、非對稱、拖尾特征。刻畫此類分布需要四個參數(shù)，分別是穩(wěn)定系數(shù)α、傾斜指數(shù)β、尺度參數(shù)γ和位置參數(shù)δ，參數(shù)的取值范圍分別為：0≤α≤2,-1≤β≤1,γ>0,δ∈R。正態(tài)分布和柯西分布是其穩(wěn)定指數(shù)等于2和1時的特殊情形。Lévy穩(wěn)定分布傾斜指數(shù)能夠刻畫收益額統(tǒng)計分布的拖尾特征，為研究金融投資收益額的統(tǒng)計分布提供了一種更為優(yōu)良的方法。此外，由于Lévy穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)均沒有統(tǒng)一的解析表達式，因此，采用合適的軟件工具十分必要，本文利用一種Lévy穩(wěn)定分布軟件工具包及相關(guān)程序?qū)崿F(xiàn)分布統(tǒng)計量的計算。

　　4.2Lévy穩(wěn)定分布參數(shù)計算

　　為了刻畫Lévy穩(wěn)定分布,首先需要計算Lévy穩(wěn)定分布的四個參數(shù)，利用經(jīng)驗特征函數(shù)法估計收益額樣本對應(yīng)的Lévy穩(wěn)定分布參數(shù)(如表2所示)。對得到的標準Lévy模型做進一步分析，對樣本數(shù)據(jù)與Lévy隨機數(shù)做K-S檢驗，得到顯著性水平值為0.3921（置信水平為0.05），接受原假設(shè)H0，即樣本數(shù)據(jù)滿足Lévy總體分布。對比正態(tài)總體的K-S檢驗水平0.028，易知Lévy穩(wěn)定分布相比高斯分布更適合該投資決策模型。類似的，利用經(jīng)驗特征函數(shù)法，結(jié)合CMS生成的Lévy隨機數(shù)作為標準模型求出對應(yīng)的統(tǒng)計參數(shù)。值得說明的是，一般有兩種方法可以求解分布函數(shù)：經(jīng)驗特征函數(shù)法與百分位法,后者具有更高的計算效率，但誤差稍大，因此本模型中均選取經(jīng)驗特征函數(shù)法計算分布函數(shù)。表3是兩種方法求得的Lévy穩(wěn)定分布統(tǒng)計量與標準Lévy分布的對比。圖1是樣本累積分布函數(shù)與Lévy累積分布函數(shù)圖，樣本擬合得到的經(jīng)驗分布函數(shù)與標準Lévy曲線基本重合，可見用Lévy穩(wěn)定分布來模擬金融投資行為是較為可靠的。

　　4.3模型求解

　　通過MATLAB使用多項式函數(shù)擬合樣條曲線，可以得到9次擬合多項式約為（由于matlab只能得到各系數(shù)取值的置信區(qū)間，本文中多項式各系數(shù)為置信區(qū)間中值）：則下一交易日的日均十萬元損失率為：P(x<-10)=F(-10)=0.03944，故而下一周期損失超過十萬元的概率為3.944%。置信度95%的日均損失額為F-1（0.05）=8.8185，故而在95%置信度下?lián)p失不超過8.8185萬元。

　　5、模型分析與推廣

　　本文通過Lévy穩(wěn)定分布模型對金融投資中的重要參數(shù)進行估計，由于本問題的日收益樣本概率密度函數(shù)具有尖峰拖尾特征，故從理論上分析，采用Lévy穩(wěn)定分布可以得到較高斯分布更為優(yōu)化的結(jié)果。本文中通過對Lévy穩(wěn)定分布進行K-S檢驗，發(fā)現(xiàn)Lévy穩(wěn)定分布的顯著性水平低于正態(tài)分布，證明了Lévy穩(wěn)定分布在金融投資問題解決中的優(yōu)越性。除了金融投資之外，Lévy穩(wěn)定分布模型還廣泛應(yīng)用于反常擴散，信號處理等領(lǐng)域。

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