巧構(gòu)圖妙解題

　　對于有些代數(shù)題采用常規(guī)方法處理往往頗費周折，而利用“圖形”則會取得事半功倍的效果。請看：

例1. 已知a，b，c，d都是正數(shù)，并且 。求證： 證明：作 和 ，使斜邊 ， ， (如圖1)。

　　圖1

由 得： 又 所以 又 所以 即

　　例2. A、B兩地相距64千米，甲騎車比乙騎車每小時少行4千米。如果甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，甲比乙先行40分鐘，兩人相遇時所行的路程正好相等。求甲、乙兩人騎車的速度各是多少?

　　解：如圖2所示，AB表示A、B兩地相距64千米，AC⊥AB

　　圖2

　　設(shè)AC=x，表示甲的行駛速度，作BD⊥AB

設(shè)BD=x+4，表示乙的行駛速度，在AB上，取 ，表示甲在40分鐘所行的路程， ⊥AB，且 =x，連結(jié) 與AB交于E，表示甲、乙各在A、B處同時相向而行并相遇于E點，于是 由 ，得 解得： (舍去) 于是

　　即甲、乙兩人騎車的速度分別為12千米/小時和16千米/小時。

　　例3. 甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲。”乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲。”請你算一算甲、乙現(xiàn)在的各自歲數(shù)。

　　圖3

解：如圖3，畫兩條直線分別表示甲、乙的年齡，設(shè)乙現(xiàn)在的年齡為x歲，從圖形中可以很直觀地看到。當(dāng)甲為x歲時，乙為4歲;當(dāng)乙為x歲時，甲為 歲;當(dāng)乙為 歲時，甲為61歲。

　　根據(jù)甲、乙的年齡差不變，可得

解得： 所以

　　答：甲現(xiàn)在42歲，乙現(xiàn)在23歲。

例4. 設(shè)a，b，c都是正實數(shù)，求證： 證明： 時，顯然成立。由于a，b的地位相同，不妨假設(shè) ，這時要證的不等式轉(zhuǎn)化為 。

　　圖4

作△ABC(如圖4)，CA=CB，CD為底邊AB上的高，E為CD上的一點，使得 ，由勾股定理得： 又 在△CBE中， 即

　　綜上，命題得證。

例5. 設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，滿足 ，且a為最大。求證： 。證明：不妨取線段 ，在AC上取一點B，使 ，則 ，以BC為直徑作⊙O，如圖5。

　　圖5

設(shè) ，作割線(或切線) 交⊙O于E，作OF⊥AD，F(xiàn)為垂足。因為 即 因為 ，所以 又 在 中，AO>AF 所以即有

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