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運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題
轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造思想是數(shù)學(xué)中兩大基本的數(shù)學(xué)思想，本文就是想利用轉(zhuǎn)化思想最重要也是最有效的思想之一��轉(zhuǎn)化為已能解決的問題來解競賽題。本文以競賽題目中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些關(guān)于素?cái)?shù)、帶余除法、完全平方數(shù)等問題為著手點(diǎn)，這些都是屬于初等數(shù)論范疇，而且這些知識(shí)幾乎在每年競賽題中都會(huì)出現(xiàn)，包括高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、冬令營、中國國家隊(duì)選拔考試，乃至在IMO考試中都是必考的內(nèi)容，所以大家應(yīng)該對(duì)此給予重視。對(duì)于數(shù)論的學(xué)習(xí)，不能操之過急，應(yīng)該首先把數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)和性質(zhì)認(rèn)真的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)一遍，對(duì)競賽中出現(xiàn)相應(yīng)的題目進(jìn)行反思，這一點(diǎn)是很重要的。我們一同來體會(huì)一下最近幾年全國和各省市初中競賽題目中常見的問題，如何把問題轉(zhuǎn)化。
例1 設(shè)m是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)，求m的值。
分析 我們不妨先求出三個(gè)互不相等的合數(shù)之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)。
解：由于4+6+8=18，故下面我們就來證明m的最大整數(shù)是17。
當(dāng)m>18時(shí)，若 ，則m>9即任意大于18的整數(shù)均可以表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和，故m=17
此題容易入手，逆向去考慮，采取極端性想法使問題得以解決。
例2 求滿足等式 的正整數(shù)x、y。分析 此問題容易想到因式分解，再加之問題里有數(shù)2003，因?yàn)?003是質(zhì)數(shù)，這也是一個(gè)信息。
解：觀察式子特點(diǎn)不難得出
故所求的正整數(shù)對(duì)(x,y)=(1，2003)，(2003，1)
此問題考察的重點(diǎn)在于因式分解。
例3 如果對(duì)于不小于8的自然數(shù)n，當(dāng)3n+1是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，n+1都能表示成k個(gè)完全平方數(shù)的和，那么k的最小值是________。
分析 我們采取分析法，因?yàn)? 是一個(gè)完全平方數(shù)，所以設(shè) ，再去推導(dǎo)n和a的關(guān)系，使問題不斷得到解決。解：由已知 是一個(gè)完全平方數(shù)，所以我們就設(shè) ，顯然 不是3的倍數(shù)，于是 ，從而 即 ，所以k的最小值是3此方法是解決數(shù)論問題的一個(gè)常用的，也是基本的一個(gè)方法。
例4 設(shè) 為完全平方數(shù)，且N不超過2392。求滿足上述條件的一切正整數(shù)對(duì)(x,y)共有________對(duì)。分析 此題與例3有相似之處，但是要難一些。首先用到了性質(zhì)8，然后再結(jié)合不等式解決此問題。
解： ，且23為素?cái)?shù)，N為不超過2392的完全平方數(shù)所以共有(1，19)，(2，15)，(3，11)，(4，7)，(5，3)以及(1，88)，(2，84)，…，(22，4)
故滿足條件的(x,y)共有5+22=27對(duì)
此問題用到了數(shù)論里常用的方法��不等式法。把一個(gè)整數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，就會(huì)求出上(下)界，從而限定出所求數(shù)的范圍，同時(shí)又是整數(shù)，故而使問題得以解決。
例5 已知方程 的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值。分析 已知方程的根是整數(shù)，所以先把根求出來 ，所以根號(hào)下的數(shù)就應(yīng)該是完全平方數(shù)，故此問題得以解決。解：由求根公式解得因?yàn)榉匠痰母际钦麛?shù)
所以 是完全平方數(shù)設(shè) ，則有所以，分別解得整數(shù)n的值為10，0，-18，-8
此題的難點(diǎn)在于知道 是完全平方數(shù)之后，如何分解它，實(shí)際上是在解一個(gè)不定方程問題。例6 設(shè)四位數(shù) 是一個(gè)完全平方數(shù)，且 ，求這個(gè)四位數(shù)。解：設(shè) 由于67是質(zhì)數(shù)，故 與 中至少有一個(gè)是67的倍數(shù) 此問題值得注意的是我們在設(shè)未知數(shù)的時(shí)候，采取整體代換，即把 看成整體，從而使問題簡化。例7 一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。
分析 此類型問題在考試中出現(xiàn)多次，它的方法基本上是設(shè)出之后做差 ，然后運(yùn)用平方差公式分解，最后去解不定方程 。解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得
但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是 解之，得n=45。代入(2)得 。故所求的自然數(shù)是1981。此問題是比較典型的，兩個(gè)式子三個(gè)未知數(shù)，感覺沒有辦法解決，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些問題中我們經(jīng)常把幾個(gè)式子做差或者做和，來發(fā)現(xiàn)其中的奧妙。
在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們要以不變(知識(shí))去應(yīng)萬變(問法)，不斷去探索，有時(shí)候我們可以用特值去驗(yàn)證結(jié)論，這樣就會(huì)有一個(gè)大致的方向，再通過不斷的把問題轉(zhuǎn)化，從而解決數(shù)學(xué)問題。
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