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不等式復(fù)習(xí)教學(xué)教案
教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)過程
ax2＋bx＋c＝0的根x1,2＝－b±Δ2a
例2若正數(shù)x、滿足6x＋5＝36，求x的最大值．
例3不等式axx－1＜1的解集為{x|x＜1或x＞2}，求a.
二元一次
例2某機(jī)械廠的車工分Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)等級(jí)，各級(jí)車工每人每天加工能力、成品合格率及日工資數(shù)如下表所示：
級(jí)別加工能力(個(gè)/人天)成品合格率(%)工資(元/天)
工廠要求每天至少加工配件2 400個(gè)，車工每出一個(gè)廢品，工廠要損失2元，現(xiàn)有Ⅰ級(jí)車工8人，Ⅱ級(jí)車工12人，且工廠要求至少安排6名Ⅱ級(jí)車工，試問如何安排工作，使工廠每天支出的費(fèi)用最少．
(萬元)到D到E到F
怎樣確定調(diào)運(yùn)方案，使總的運(yùn)費(fèi)最少？
(設(shè)計(jì)者：鄭吉星)
備課資料
一、備用例題
【例1】 已知0＜x＜13，求函數(shù)＝x(1－3x)的最大值．
活動(dòng)一：原函數(shù)式可化為＝－3x2＋x，利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值．
解法一：(利用二次函數(shù)法可獲得求解)(解略)
活動(dòng)二：挖掘隱含條件，∵3x＋1－3x＝1為定值，且0＜x＜13，則1－3x＞0；可用均值不等式．
解法二：∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.∴＝x(1－3x)＝133x(1－3x)≤13(3x＋1－3x2)2＝112，當(dāng)且僅當(dāng) 3x＝1－3x，即x＝16時(shí)， ax＝112.
【例2】求＝sinx＋5sinx的最小值，x∈(0，π)．
錯(cuò)解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.∴＝sinx＋5sinx≥25.∴in＝25.
錯(cuò)因：＝25的充要條件是sinx＝5sinx，即sin2x＝5，這是不存在的．
正解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.又＝sinx＋5sinx＝sinx＋1sinx＋4sinx≥2＋4sinx，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝1sinx，即sinx＝1時(shí)，取“＝”．而此時(shí)4sinx也有最小值4，
∴當(dāng)sinx＝1時(shí)，in＝6.
【例3】已知正數(shù)x、滿足2x＋＝1，求1x＋1的最小值．
錯(cuò)解：∵1＝2x＋≥22x，∴x≤122，即1x≥22.
∴1x＋1≥21x≥222＝42，即1x＋1的最小值為42.
錯(cuò)因：過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取“＝”過渡，而這兩次取“＝”的條 件是不同的，故結(jié)果錯(cuò)．
正解一：∵2x＋＝1，∴1x＋1＝(2x＋)(1x＋1)＝2＋2x＋x＋1≥3＋22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2x，即＝2x時(shí)，取“＝”．
而＝2x2x＋＝1 ?x＝12＋2，＝22＋2，即此時(shí)in＝3＋22.
正解二：∵1x＋1＝2x＋x＋2x＋＝3＋x＋2x(以下同解一)．
小結(jié)：用均值不等式求最值時(shí)，要注意檢驗(yàn)最值存在的充要條件，特別地，如果多次運(yùn)用均值不等式求最值，則要考慮多次“≥”(或者“≤”)中取“＝”成立的諸條件是否相容．
【例4】 已知正數(shù)x、滿足x＝x＋＋3，試求x、x＋的范圍．
解法一：由x＞0，＞0，則x＝x＋＋3 x－3＝x＋≥2x，即(x)2－2x＋3≥0.
解得x≤－1(舍去)或x≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝且x＝x＋＋3，即x＝＝3時(shí)取“＝”，故x的取值范圍是[9，＋∞)．
又x＋＋3＝x≤(x＋2)2 (x＋)2－4(x＋)－12≥0 x＋≤－2(舍去)或x＋≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝且x＝x＋＋3，即x＝＝3時(shí)取“＝”，故x＋的取值范圍是 [6，＋∞)．
解法二：由x＞0，＞0，x＝x＋＋3? (x－1)＝x＋3，知x≠1，則＝x＋3x－1.
由＞0? x＋3x－1＞0? x＞1，則
x＝xx＋3x－1＝x2＋3xx－1＝x－12＋5x－1＋4x－1＝(x－1)＋4x－1＋5≥2x－14x－1＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝4x－1(x＞0)，即x＝3，并求得＝3時(shí)取“＝”，故x的取值范圍是[9，＋∞)．
x＋＝x＋x＋3x－1＝x＋x－1＋4x－1＝x＋4x－1＋1＝(x－1)＋4x－1＋2
≥2x－14x－1＋2＝6.
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝4x－1(x＞0)，即x＝3，并求得＝3時(shí)取“＝”，故x＋的取值范圍是[6，＋∞)．
點(diǎn)評(píng)：解法一具有普遍性，而且簡潔實(shí)用，易于掌握，解法二要求掌握構(gòu)造的技巧．
總之，利用均值不等式求最值的方法多樣，而且變化多端，要掌握常見的變形技巧，掌握常見題型的求解方法，加強(qiáng)訓(xùn)練、多多體會(huì)，才能達(dá)到舉一反三的目的．
【例5】 用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米，
(1)求a關(guān)于h的解析式；
(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)．
解：(1)設(shè)h′是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得
a2＋412h′a＝2，h2＋14a2＝h′2，消去h′，解得a＝1h2＋1(a＞0)．
(2)由V＝13a2h＝h3h2＋1(h＞0)，
得V＝13h＋1h，而h＋1h≥2h1h＝2.
所以V≤16，當(dāng)且僅當(dāng)h＝1h，即h＝1時(shí)取等號(hào)；
故當(dāng)h＝1米時(shí)，V有最大值，V的最大值為16立方米．
二、不等式的證明方法探究
1．配方法
把一個(gè)不是完全平方形式的多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)配成完全平方，然后利用一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)的這個(gè)特殊的性質(zhì)來證明某些式子是大于或等于零的．
2．判別式法
通過對(duì)所證不等式的觀察、分析，構(gòu)造出二次方程，然后利用二次方程的判別式，從而使不等式得證．
3．比較法
為了證明A＞B，可轉(zhuǎn)化為證明 A－B＞0，或者當(dāng)B＞0時(shí)轉(zhuǎn)化為證 明AB＞1.
4．放縮法
為了證明A＜B，可設(shè)法證明A＜C，且C＜B.有時(shí)也可考慮證明加強(qiáng)命題．
5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
常用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題．
6．構(gòu)造法
構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形，使要證的命題比較直觀地反映出來．
7．輔助函數(shù)法
函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它與不等式有密切的聯(lián)系．
通過構(gòu)造輔助函數(shù)，然后利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去證明該不等式．通常我們可以利用以下一些函數(shù)的性質(zhì)：
(1)函數(shù)＝ax2＋bx＋c，若a＞0，則≥0?Δ≤0；(2)三角函數(shù)的有界性；(3)函數(shù)的單調(diào)性；(4)函數(shù)的凸性；(5)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
8．換元法
通過添設(shè)輔助元素，使原來不等式變成與新的變量有關(guān)的不等式．
應(yīng)用換元法，可把字母多化成字母少，可把紊亂的不等式化成簡單的、條理清晰的不等式．
常用的換元方法有三角換元和均值換元．
(1)三角換元
x2＋2＝r2(r＞0) x＝rcsα，＝rsinα(0≤α＜2π)；x2＋2≤a2 x＝rcsα，＝rsinα(0≤α＜2π，r≤|a|)；x2－2＝r2(r＞0) x＝rsecα，＝rtanα(0≤α＜2π)．
(2)均值換元
x＋＝a x＝a2－ε，＝a2＋ε；x＋＋z＝a x＝a3＋α，＝a3＋β，α＋β＋γ＝0.z＝a3＋γ
另外，在證明的過程中還經(jīng)常使用整體換元，即用一個(gè)變量代替一個(gè)整式．
9．逐步調(diào)整法
在證明不等式的過程中，對(duì)某一個(gè)函數(shù)式的某些變?cè)M(jìn)行調(diào)整(變大或變小)，觀察其值的變化，從中發(fā)現(xiàn)函數(shù)式的最值．
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