- 相關(guān)推薦
高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略
論文摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)碰到某些恒成立的問題。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下兩種類型：一是利用函數(shù)圖像與性質(zhì);二是變量分離。本文對(duì)此進(jìn)行了分析。
關(guān)鍵詞：恒成立問題;函數(shù)圖像;數(shù)學(xué)
在高中教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的問題，我們?cè)鯓觼斫鉀Q呢? 函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題，其表現(xiàn)形式通常有：(在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立;(某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R;(某不等式的解為一切實(shí)數(shù);(某表達(dá)式的值恒大于等等……
恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。
恒成立問題在解題過程中大致可分為以下兩種類型：一是利用函數(shù)圖像與性質(zhì)，例如，一次函數(shù)、二次函數(shù)等;二是變量分離。恒成立問題還要注意與存在性問題的區(qū)別和聯(lián)系。
一、利用函數(shù)圖像與性質(zhì)
例1：對(duì)任意恒成立，求的取值范圍。
解：令，
本題關(guān)于的二次函數(shù)，若二次函數(shù)大于0在R上恒成立且(即圖像恒在軸上方)。
若二次函數(shù)小于0在R上恒成立且(即圖像恒在軸下方)。
我們也會(huì)經(jīng)常碰到二次函數(shù)在某一給定區(qū)間上的恒成立問題，碰到這樣的情況，如果我們?nèi)耘f可以利用函數(shù)圖像來解決的話，會(huì)更得心應(yīng)手。
變式1：對(duì)任意恒成立，求的取值范圍。
解：若對(duì)任意恒成立，令，利用其函數(shù)圖像，
，得
變式2：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍。
分析：可以看成關(guān)于的二次函數(shù)，也可以看成關(guān)于的一次函數(shù)，所以在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及，關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然，可將視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)小于0的恒成立問題。
若原題可化為一次函數(shù)型，則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識(shí)求解，十分簡(jiǎn)捷。給定一次函數(shù)，若在內(nèi)恒有，則根據(jù)函數(shù)的圖像(直線)可得上述結(jié)論等價(jià)于;同理，若在內(nèi)恒有，則有，
利用的函數(shù)圖像可知，
變式3：對(duì)任意及時(shí)，恒成立，求的取值
范圍。
分析：不等式中出現(xiàn)了三個(gè)字母：，及，關(guān)鍵在于先把哪個(gè)字母看成是變量，另外兩個(gè)作為常數(shù)。
方法一：若先把看成關(guān)于的二次函數(shù)，且在上恒大于等于0，則，即，
在上恒成立，(如變式1)
令，，
方法二：若先把看成關(guān)于的一次函數(shù)，則在上恒成立(如變式2)，，則，所以此不等式在上恒成立，
二、變量分離
若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有恒成立，則;若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有恒成立，則。(其中和分別為的最大值和最小值)
例2：已知函數(shù)在是增函數(shù)，在為減函數(shù)，(1)求的表達(dá)式;當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，求的取值范圍。
解：(1)函數(shù)在是增函數(shù)，
在上恒成立，
，在上恒成立， ①
函數(shù)在是減函數(shù)，在上恒成立。
在上恒成立， ②
由①②可得，，，
方法一：，
令在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，，
，
方法二：方法一是采用恒成立，則來解決，也可以利用恒成立;恒成立，
，
令
，，，，，
在上恒成立，，
例3：已知函數(shù)對(duì)于總有成立，求實(shí)數(shù)的值。
方法一：(同例2的方法二)
�、佼�(dāng)時(shí)，不符題意;
�、诋�(dāng)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減.，不符題意;
③當(dāng)，在單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減。
在的最小值可能是
，也可能是，
，且，且，
�、墚�(dāng)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，所以不符題意。
綜上所述，。
方法二：(同例2的方法一)
，
�、� 當(dāng)時(shí)，;
② 當(dāng)時(shí)， 令
在單調(diào)遞增，在
在上恒成立，在上單調(diào)遞減，。
�、郛�(dāng)時(shí)，令
在單調(diào)遞增，。
綜上所述，。
三、存在性問題和恒成立問題的區(qū)別和聯(lián)系
1.存在性問題和恒成立問題的區(qū)別
例4：若對(duì)于，有解，求
的范圍。
分析：原不等式可整理成，則存在，有解，是一個(gè)存在性問題。存在性問題有如下解法：①在定義域上有解;②在定義域上有解。
解：令，在上恒大于零，在上單調(diào)遞增，，。
變式：任意，恒成立，求的范圍。
解：(由例4可得)因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?。
2.存在性問題和恒成立問題的聯(lián)系
如例4：令：存在， 有解，所以命題是一個(gè)存在性問題;
而：任意，恒成立，它是一個(gè)恒成立問題. 所以求滿足條件的的范圍，先可以求滿足條件的的范圍，再求其補(bǔ)集。
因?yàn)椋喝我�，恒成立，所以，，所以滿足條件的的范圍為。
存在性問題可以與恒成立問題相互轉(zhuǎn)化，存在性問題的反面是恒成立問題，恒成立問題的反面是存在性問題。
綜上，恒成立問題的解決主要是以上幾種方法，恒成立問題解決有利于函數(shù)方面知識(shí)的掌握，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。
【高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略】相關(guān)文章：
高中數(shù)學(xué)解題的技巧10-01
高中數(shù)學(xué)解題方法10-09
小學(xué)數(shù)學(xué)解題策略研究論文10-09
高中數(shù)學(xué)解題基本方法10-09
高中數(shù)學(xué)解題技巧10-09
代數(shù)問題幾何建模策略10-05
解決問題的策略教案03-07