線性代數課堂教學論文

　　線性代數課堂教學論文【1】

　　【摘要】本文從線性代數課程的特征出發(fā)，研究了在保持課程內容體系不變的前提下，通過把握主線、引入幾何觀點、結合代數發(fā)展史三個方面，來改進傳統(tǒng)的線性代數課堂教學.結論表明，以上的改進不僅能減輕由于代數的抽象性帶來的學習困難，達到更好的教學效果，同時能在課堂中提高學生的數學能力及數學素質，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力.

　　【關鍵詞】線性代數;課堂教學;教學主線;幾何觀點;代數史

　　線性代數及微積分(常稱為高等數學)、概率論與數理統(tǒng)計是當今大學生三門必修數學課.由于中學數學教材改革和新課標的實施，微積分和概率論與數理統(tǒng)計課程中的部分知識點已經在學生的高中階段都有所接觸，而且這兩門課的大部分知識都有較為豐富的背景和應用范圍.相比而言，線性代數中的行列式、矩陣概念對學生是全新的，沒有在中學接觸過的，就現行的大量教材來看，線性代數在內容安排上，顯得邏輯性、抽象性有余，而背景性和應用性不足.

　　加上線性代數一般都安排課時較少，所以使得學生對線性代數課程的學習更加吃力，達到的教學效果也不盡理想.本文探討在不改變線性代數課程內容體系的前提下，如何改進課堂教學方法，以達到更好的教學效果.

　　一、教學中必須把握兩條主線

　　如前所述，與其他兩門數學課程相比較，線性代數的教材編得更為抽象，更加遠離現實.學生通常會覺得概念、定義多，而且由于缺乏背景，一般會顯得零散，各種概念之間的聯(lián)系也較難把握.在課堂教學中，必須把握線性代數課程的兩條主線，才能把這些大量的概念連起來，形成一個整體.

　　1.第一條主線是線性方程組

　　求解線性方程組是線性代數課程的一個主要任務，將中學的消元法經過一次抽象，就是線性代數中矩陣的初等變換概念.根據各種方程組的特點，形成了線性代數課程中一系列概念和方法.當未知數個數與方程的個數相等的時候，行列式可以派上用場，于是引出了行列式的初等變換、求值、克萊姆法則等相關概念.對一般的線性方程組，我們用秩來描述“真正起作用的方程的個數”，方程組的有解無解，有唯一解還是無窮多解，自由未知量的個數，都可以用系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩來理解了.

　　為了對無窮多解有更深入的認識，把方程組的解看成向量，對齊次線性方程組，就需要引入向量空間的概念，這樣就不難理解線性相關與線性無關、最大線性無關組這一連串的概念了.可見，抓住了線性方程組這條主線，就可以把行列式、矩陣、向量組這些概念合理地聯(lián)系起來了.

　　2.第二條主線是二次型的標準化

　　解析幾何中很重要的一個主題就是要把一些二次曲線方程化為只含有平方項的二次型，以便研究曲線的類型，這就是我們所謂的二次型化為標準二次型.利用矩陣這一工具來完成這個過程，需要從矩陣的特征值和特征向量出發(fā)，來討論實對稱矩陣的對角化問題.線性代數課程一般給出了三種化二次型為標準二次型的方法，著重討論的是用正交變換的方法.

　　在課堂上，抓住這樣兩條主線，不但可以避免概念的零碎，而且對學生掌握線性代數整個課程體系也是非常有幫助的.

　　二、在課堂上引入幾何的觀點來介紹代數知識

　　大部分線性代數教材都從知識結構的邏輯性來安排內容，使得代數知識以抽象的面孔出現在學生面前.事實上，在中學階段，學生學習初等代數時，是非常注重代數與幾何之間的結合的.數形結合不僅有利于降低學生的理解難度，也是掌握代數思想的一個必然要求.如何用幾何的觀點來學習代數，是一個在線性代數的課堂教學中值得思考的問題.

　　(5)的解即為方程組(2)的滿足整體誤差最小的近似解，這就是最小二乘法求最優(yōu)近似解的結果.從上面的例子可以看出，直觀的幾何意義使得很多推算得到了簡化，更能讓學生加深對概念和方法的理解.

　　三、從代數發(fā)展歷史的角度來講線性代數課程

　　前面提到，大部分教材的編排由于注重嚴格系統(tǒng)化的形式推理，都不可避免地使線性代數抽象性特征明顯，我們在課堂教學中，不妨靈活處理知識的來龍去脈，站在從知識發(fā)展的歷史的角度來認識這門課程，這也是引起國外越來越多大學重視的一種教學方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大學數學教材，就是基于這一觀點來編寫的.

　　2008年，普林斯頓大學出版社出版了《普林斯頓數學指南》(the Princeton Companion to Mathematics)，這是一本數學綜合類的普及讀物，全書共有一千多頁，盡量用淺顯的語言，把現代數學知識的來龍去脈解釋清楚.在線性代數的課堂教學中，如果能借鑒這種從知識產生歷史角度來講授知識，不僅能讓學生理解知識之間的內在聯(lián)系，更為可貴的是，能把很多數學大家當時對這些數學問題的思考過程呈現在學生面前，對學生創(chuàng)造性思維的形成過程大有益處.

　　四、結 語

　　線性代數課程由于其自身的特征給教學帶來一定的難點，如何在不改變課程知識體系的前提下，達到較好的教學效果，讓學生能在抽象的代數學習中，接受知識，形成創(chuàng)造性思維方式，提高數學能力和素養(yǎng)，是每個大學數學教師面臨的一個重要課題.本文從教學實踐中，結合國內外相關的數學教育理論，提出了幾條相應的措施.要提高教學質量，需要長時間在實踐不斷去完善教學手段和教學方法，唯有高質量的課堂教學，才能保證線性代數課程較好的教學效果.

　　【參考文獻】

　　[1]同濟大學數學系編.線性代數[M](第六版).北京：高等教育出版社.

　　[2]楊小遠，李尚志.大學一年級學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)探索與實踐[J].大學數學，2012(4)：13-21.

　　[3]李大潛 漫談大學數學教學的目標與方法[J].中國大學教學，2009(1)：7-10.

　　[4]劉春林，李寶娣.線性代數教學方法探索[J].衡陽師范學院學報，2012(3)：153-155.

　　[5]李尚志 線性代數新教材之精彩案例(之二)[J].大學數學，2012(4)：5-12.

　　線性代數課堂教學方法【2】

　　[摘要]在大類招生背景下，線性代數是浙江大學大類課。

　　它的教學效果對學生今后的學習是至關重要的。

　　本文是作者在浙江大學教學中總結出課堂教學的一些策略和方法。

　　[關鍵詞]線性代數;課堂教學;方法

　　一. 浙江大學線性代數現狀

　　大學基礎數學課程(主要指微積分、線性代數、概率論與數理統(tǒng)計)，是重要的大學基礎課之一。

　　基礎知識的學習可以受用終身。

　　如果沒有打下良好的基礎，學生很難真正理解高深的應用技術。

　　這是因為數學的理論與方法已被廣泛應用于自然科學、工程技術及工農業(yè)生產的各個領域，數學技術已成為高技術的突出標志和重要組成部分，數學的影響和作用已深入到各個行業(yè)，可以說是無處不在。

　　線性代數是讓學生通過抽象性、邏輯性、應用性的必要訓練，逐步形成運用線性代數的原理和方法解決實際問題的思維模式和思維習慣，提供進一步學習所必備的代數知識.公理化演繹的思想(如：線性空間等各類代數系統(tǒng))，分類的思想(如：矩陣的相似等等各種等價關系)，相互關聯(lián)的思想(如：同態(tài)等各種形式的映射)，矩陣的方法，初等變換的方法，抽象推理的方法…等等，是以后進一步學習和研究的基本思想。

　　浙江大學在四校合并以后，經過多年的調整，承擔課程教學的主要隊伍已經穩(wěn)定。

　　在相對穩(wěn)定的11人教學隊伍中有教授4名，副教授6名。

　　獲博士學位的有8位，承擔課程的老師均為中青年教師，教學效果良好。

　　現有的教學隊伍基本上能夠以科研來帶動教學的改革，把課程的前沿知識、研究現狀和發(fā)展趨勢，及時貫徹到教學過程中，常講常新。

　　這為新的課程建設和課堂教學改革的開展提供了良好的隊伍基礎。

　　在每學期開學之時，我們按時確定學期的教學內容安排，制定教學日歷，并

　　按照規(guī)定把教學資料上傳網絡。

　　教學期間，嚴格按照制定的教學安排實施教學，每周安排兩位教師答疑;期中時舉行教學研討會交流經驗，開展為青年教師的集體備課等活動;期末時，集體討論評分標準，集體改卷。

　　這些規(guī)范化的管理，為我們實施課程教學改革提供了良好的保證。

　　線性代數是浙江大學的校精品課程，得到學校的大力支持。

　　目前，浙江大學的線性代數正著手推進省精品課程，在推進過程中，我們不斷銳意改革，總結了一套很好的課堂教學方法。

　　針對浙江大學理學院大類招生制度的建立，由于培養(yǎng)模式的改變，為了使教學內容更大范圍覆蓋學生類別，我們編寫了適合大類招生需求的《高等代數》 教材，增加小字部分的內容提高難度，以適應對數學有較高要求的學生。

　　原先教師都采用陳維新編的線性代數教材。

　　由于新教材的采用，如何適應新教材的教學，特別是組織課堂教學，成為一個重要的課題。

　　二.課堂教學改革

　　1.傳統(tǒng)教學手段與現代教學手段靈活運用

　　傳統(tǒng)的教學一般采用前蘇聯(lián)教育家凱洛夫的“五段式教學”，即組織教學、檢查舊課、講授新課、鞏固新課和布置作業(yè)。

　　由于數學學科的特點，傳統(tǒng)的利用黑板板書的教學模式，在線性代數教學中有著現代教育技術所不具備的優(yōu)勢。

　　線性代數涉及很多數學符號和復雜的計算，所以現代教育技術有著克服不了的困難。

　　在教學過程中，我們采用由單純的PPT課件的教學以及單純的板書教學，過渡到把兩種授課方式結合在一起的教學模式中，并積累了一定的經驗取得了良好的教學效果，提高授課的質量。

　　2.強調把建模思想融入線性代數教學

　　以線性方程組為主線，矩陣為工具，介紹線性代數的基本知識、基本理論和

　　線性規(guī)劃模型以及整數規(guī)劃模型，突出學生應用數學方法和現代化計算工具解決

　　各種實際問題的能力培養(yǎng)，注重于建立模型方法的介紹和實際應用。

　　例如教師

　　在教學過程中可以介紹一些網絡流模型。

　　網絡流模型廣泛應用于交通、運輸、通訊、電力分配、城市規(guī)劃、任務分派以及計算機輔助設計等眾多領域。

　　通過這些模型的介紹，可以激發(fā)學生學習興趣，以模型帶動理論教學有意想不到的效果。

　　浙江大學在這方面有過成功經驗，并且在期末考題融入建模試題。

　　3.從實際出發(fā)，注重概念與定理的直觀描述和實際背景，再講邏輯推理。

　　本課程是理論型的課程，沒有實驗部分。

　　我們提出在數學教學中要返璞歸真，從源頭講起，講清楚問題產生和發(fā)展的過程，講明道理，再講推理，然后再抽象化和形式化.通過習題的練習，使學生掌握、熟悉基本內容和基本技巧，以附錄的形式在學習到相關章節(jié)的時候，向學生提供具有實際意義的背景資料，拓寬學生的知識面，這在以前的教學活動中并不常見。

　　由于教學課時的限制，這部分背景資料的學習，并不占用課堂時間。

　　在教學內容上，在保留我國傳統(tǒng)的重歸納、演繹、推理的基礎上，更注重分析、綜合的思想。

　　對一些重要的概念的引入，注重概念實際背景的分析與教學。

　　許多定理的結論與條件用發(fā)現探索的方式引出并用分析、綜合的方法給予證明，激發(fā)學生的探索精神并對定理深入理解。

　　4.基于問題的探究式教學

　　根據不同情況學生的不同特點，參照在教學過程中積累的經驗，教師在課堂有

　　導向性向各個由學生組成的小組提出一些問題，要求學生理解并作適當的回答。

　　對于學生而言，他們需要在小組中討論這些問題，并對這些問題的定義，性質以及如何應用等等做出解釋。

　　在問題的構思上必須精心設計，做到既要使學生以現有的知識水平無法輕易回答問題，又對課堂教學有實際意義。

　　這樣，在小組討論中，學生容易會對討論的主題抱有種種疑惑。

　　而為了解決這些疑惑，學生就要通過各種渠道進行自主學習，從而最終得到問題的答案。

　　5.開通微博微信答疑：

　　利用學校提供的先進的技術教學平臺，助教把批改作業(yè)時發(fā)現的典型錯誤公布

　　在網上，學生思考，找出錯誤原因。

　　學生有問題可以發(fā)布在網絡課程中的問題集錦里，由教師、助教，也可以是學生來回答，共同討論。

　　教師、助教在網絡虛擬課堂與學生進行交流，使學生對教學內容有了深刻理解，提高了學習質量。

　　課堂上，講重點，講知識的背景與形成過程，揭示知識的內在聯(lián)系，充分調動學生的積極性、主動性;自學是指有些教材內容則采用學生自學為主，教師給出思考題，課后下班輔導及答疑.去年開始，開通我們開通微博微信答疑，筆者可以通過移動網絡隨時與學生互動答疑，效果非常好。

　　三.課堂教學改革的亮點

　　強調團隊合作精神，提倡自主學習，互相討論、團隊討論、問題發(fā)現、師生探討法。

　　將數學建模思想和方法融入到線性代數的教學，將數學建模教學中的教學理念、教學內容、模塊化教學、案例教學等方法引入線性代數教學，推進線性代數教學改革。

　　首次提出開通微博微信答疑，學生有問題老師可以通過網絡、手機等及時解答學生問題。

　　參考文獻：

　　[1]黃正達，李方，溫道偉，汪國軍.高等代數(上冊)[M].浙江：浙江大學出版社，2011.

　　[2]李方，黃正達，溫道偉，汪國軍.高等代數(下冊)[M].浙江：浙江大學出版社，2013.