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微分方程模型及其應(yīng)用
微分方程模型及其應(yīng)用
摘 要：微分方程模型應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題有非常大的研究空間，本文重點(diǎn)討論了微分方程的原理，微分方程思想對(duì)于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的啟示以及現(xiàn)實(shí)生活中利用微分方程模型解決具體問(wèn)題的案例，旨在進(jìn)行微分方程理論學(xué)習(xí)之余提出自己的一些思考。
關(guān)鍵詞：微分方程;模型;應(yīng)用
對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的變化，人們關(guān)注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律，之中的規(guī)律一般可以寫成一個(gè)(偏)微分方程或方程組。
所以實(shí)際問(wèn)題中，有大批的問(wèn)題可以用微分方程來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，涉及的領(lǐng)域包括物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、力學(xué)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、人口、資源等等。
一、微分方程數(shù)學(xué)原理解析
在初等數(shù)學(xué)中，方程有很多種，比如線性方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實(shí)際問(wèn)題。
要研究實(shí)際問(wèn)題就要尋求滿足某些條件的一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)方程。
這類問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問(wèn)題，從而產(chǎn)生了微分方程。
微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設(shè)的基礎(chǔ)課程，微分方程與微積分是同時(shí)產(chǎn)生的，一開始就成為人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的有力工具，隨著生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，該學(xué)科已經(jīng)演變發(fā)展為數(shù)學(xué)學(xué)科理論中理論聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要分支。
隨著數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)的日益活躍，利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型，成為解決實(shí)際問(wèn)題不可或缺的方法與工具。
而數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式(或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述)，即用數(shù)學(xué)式子(如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等)來(lái)描述(表述、模擬)所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。
二、微分方程模型應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的方法和流程總結(jié)
在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。
一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數(shù)值解(近似解)和定性理論方法。
而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來(lái)建立微分方程模型;其二是利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。
其三是在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問(wèn)題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。
在建立數(shù)學(xué)微分方程的流程上，我們通常第一步是對(duì)具體實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，找出問(wèn)題中的變化量和變量關(guān)系，接著進(jìn)行模型假設(shè)，將實(shí)際問(wèn)題的元素用數(shù)學(xué)概念代替，然后進(jìn)行符號(hào)設(shè)定，簡(jiǎn)化計(jì)算，從而建立模型，進(jìn)行求解，最后用求解的結(jié)果對(duì)之前的問(wèn)題分析和模型假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證合理后進(jìn)行模型的應(yīng)用和評(píng)估。
三、微分方程模型應(yīng)用領(lǐng)域歸納和具體案例分析
從應(yīng)用領(lǐng)域上講，微分方程大方向上的應(yīng)用領(lǐng)域主要分社會(huì)及市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭(zhēng)微分模型分析、人口與動(dòng)物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學(xué)這五個(gè)方面，如果細(xì)致來(lái)講，其中社會(huì)及市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)方面又包括綜合國(guó)力的微分方程模型、誘發(fā)投資與加速發(fā)展的微分方程模型、經(jīng)濟(jì)調(diào)整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價(jià)格的微分方程模型。
戰(zhàn)爭(zhēng)微分模型包括軍備競(jìng)賽的微分方程模型、戰(zhàn)爭(zhēng)的微分方程模型、戰(zhàn)斗中生存可能性的微分方程模型、戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估模型;人口與動(dòng)物世界領(lǐng)域包括單種群模型及進(jìn)行開發(fā)的單種群模型、弱肉強(qiáng)食模型、兩個(gè)物種在同一生態(tài)龕中的競(jìng)爭(zhēng)排斥模型、無(wú)管理的魚類捕撈模型、人口預(yù)測(cè)與控制模型。
疾病傳染與診斷領(lǐng)域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內(nèi)碘的微分方程模型、藥物在體內(nèi)的分布與排除模型;自然科學(xué)領(lǐng)域包括人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動(dòng)的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問(wèn)題的微分方程模型等。
盡管從上述微分方程應(yīng)用領(lǐng)域的羅列和總結(jié)上，我們會(huì)覺得比較復(fù)雜，其實(shí)所有微分方程建模問(wèn)題的流程都是嚴(yán)格按照問(wèn)題分析、模型假設(shè)、符號(hào)設(shè)定、建立模型、模型求解和驗(yàn)證模型這一流程進(jìn)行的，下面就結(jié)合一個(gè)案例來(lái)具體分析：
比如弱肉強(qiáng)食微分方程模型。
生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行著殘酷的生存競(jìng)爭(zhēng)。
設(shè)想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無(wú)無(wú)食之憂，于是大量繁殖;兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數(shù)量增加吃掉大量兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子相對(duì)安全，于是兔子總數(shù)回升。
就這樣，狐兔數(shù)目交替地增減，無(wú)休止的循環(huán)，遂形成生態(tài)的動(dòng)態(tài)平衡。
那么，如何用建立數(shù)學(xué)模型描述并預(yù)測(cè)下一階段情況呢?在這個(gè)問(wèn)題上，某一時(shí)刻兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量就存在變量關(guān)系：
其中ax表示兔子的繁殖速度與現(xiàn)存兔子數(shù)成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度;-cy表示狐貍因同類爭(zhēng)食造成的死亡速度與狐貍總數(shù)成正比;dxy表示狐兔相遇，對(duì)狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。
四、結(jié)語(yǔ)
微分方程模型的應(yīng)用讓很多現(xiàn)實(shí)中難以具體計(jì)算的問(wèn)題迎刃而解，通過(guò)對(duì)事物發(fā)展規(guī)律的掌控進(jìn)行科學(xué)建模，是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的發(fā)展趨勢(shì)，作為廣大在校進(jìn)行數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，掌握好專業(yè)基本功，是將來(lái)就業(yè)工作，實(shí)現(xiàn)自身價(jià)值的重要途徑。
參考文獻(xiàn)：
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