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求軌跡方程問題中的數(shù)學(xué)思想論文
摘 要：數(shù)學(xué)高考試題十分重視對(duì)學(xué)生解題方法的考查，尤其是突出考查能力的試題，其解答過程都總是蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生只有有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)解題方法，有目的、有步驟的去分析問題、解決問題，才能在大腦中構(gòu)建數(shù)學(xué)情境，形成數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。
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數(shù)學(xué)高考試題十分重視對(duì)學(xué)生解題方法的考查，尤其是突出考查能力的試題，其解答過程都總是蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生只有有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)解題方法，有目的、有步驟的去分析問題、解決問題，才能在大腦中構(gòu)建數(shù)學(xué)情境，形成數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。
數(shù)學(xué)解題的基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，具有模式化和可操作性的特征，一般都能解決莫一類具體的提醒，可以選用作為解題教學(xué)的具體手段�？梢哉f(shuō)，在高中數(shù)學(xué)中，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，而提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是要提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，也就是我們常說(shuō)的解題能力。
這里介紹高考中常見的求軌跡方程這一類提醒的解題方法和解題步驟。求軌跡方程的問題常見于選擇題與解答題中，本考點(diǎn)單獨(dú)命題的可能性不大，但結(jié)合直線、向量、和圓錐曲線等相關(guān)知識(shí)綜合命題的可能性很大，所占分值一般較多，此類體型共有三種情況：
一、軌跡上的點(diǎn)滿足所學(xué)曲線的某種定義，可直接寫出方程
我們可先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再根據(jù)已知曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。而高中階段已知的軌跡無(wú)非是直線、圓和圓錐曲線，在解題時(shí)要注意思考，看有無(wú)這三種圖形的性質(zhì)。
如2012年杭州模擬題：△ABC的頂點(diǎn)A(-5，0)B(5,0), △ABC的內(nèi)切圓心在直線x=3上，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。
此題的A(-5，0)B(5,0)就隱含告訴了大家，軌跡很有可能是個(gè)圓錐曲線，果然對(duì)此題進(jìn)行分析，通過切線長(zhǎng)定理可得，C點(diǎn)軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線，可直接寫出方程。
這類題告訴我們，在求軌跡方程時(shí)，首先要注意條件是否滿足某種已知曲線的定義，時(shí)刻注意題目隱含條件，這個(gè)曲線可能是什么圖形，找到方向再進(jìn)行分析。
二、已知軌跡形狀，但卻無(wú)法直接寫出方程
在很多題目中，會(huì)明確告訴我們，求直線方程、或是圓方程、或者橢圓、雙曲線、拋物線方程等，但因有些系數(shù)未知，不能直接寫出軌跡方程。
在這種情況下，我們的解題步驟為：首先用待定系數(shù)設(shè)出軌跡方程，在設(shè)待定系數(shù)時(shí)，要把握讓待定系數(shù)越少越好的原則。如，若已知直線上一點(diǎn)求直線方程，就用點(diǎn)斜式來(lái)設(shè)，已知斜率或者截距就用斜截式來(lái)設(shè)，已知橫縱截距的關(guān)系就用截距式來(lái)設(shè)，什么都不知道就用斜截式來(lái)設(shè)待定系數(shù)。設(shè)出方程后，根據(jù)已知條件，解出待定系數(shù)即可。
如2013年江西高考題：直線在y軸上截距為3，在圓(x-2)2+(y-2) 2=25上截得的弦長(zhǎng)為6.求直線的軌跡方程.
此題考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、重點(diǎn)考察數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用。在講解直線和圓的位置關(guān)系時(shí)。教師應(yīng)明確指出：提到直線和圓相切，就要先考慮圓心到直線的距離等于半徑，其次考慮半徑與切線垂直;提到直線和圓相交，就要考慮半徑、割線、圓心到弦中點(diǎn)的連線所構(gòu)成的直角三角形。此題顯然屬于后一種情況，只要畫出直角三角形，就可根據(jù)勾股定律求出圓心到直線的距離為4.
設(shè)直線方程為y=kx+3,帶入點(diǎn)到直線的距離即可求出k.
三、不知軌跡形狀，求軌跡方程
不知道軌跡性質(zhì)的提醒更為多見，我們應(yīng)用直接法求解，即利用條件建立x,y之間的關(guān)系F(x，y)=0.
首先設(shè)M(x，y)為所求軌跡上一點(diǎn)。此時(shí)注意M點(diǎn)必須是一般化的點(diǎn)，沒有特殊的性質(zhì)，與軌跡上其他所有點(diǎn)沒有任何不同;然后根據(jù)已知條件把x，y放入等式，寫出F(x，y)=0的式子，這就是軌跡方程。此時(shí)需要注意的是x和y是作為M點(diǎn)的坐標(biāo)存在，而非未知數(shù)。
如2014年四川高考題：動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1，1)、B(1，0)構(gòu)成△MBC，且直線MA、MB的斜率之積為4，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。
這就是典型的不知軌跡形狀，求軌跡方程的例子。我們首先設(shè)M(x，y)在所求軌跡上，然后寫出MA、MB的斜率，其乘積等于4，即可得到一個(gè)關(guān)于x，y的等式F(x，y)=0，這個(gè)等式就是軌跡方程。
在這種類型中，還有一種特殊的情況，即動(dòng)點(diǎn)M(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y便是代數(shù)式x0，y0，然后將x0，y0帶入已知曲線即可得所要求的軌跡方程。
如2013年海寧模擬題，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B(-2，0)C(2,0),頂點(diǎn)A在拋物線y=x2+1上移動(dòng)，求△ABC的重心的軌跡方程。
此題為典型的代入法求軌跡方程，設(shè)G(x，y)在所求軌跡上，設(shè)A坐標(biāo)為(x0，y0)，找到x，y 與x0，y0的關(guān)系x0=3x ，y0 =3y，然后把x0，y0帶入拋物線方程即可得到F(x，y)=0的式子，也就是軌跡方程。
總之，求軌跡方程
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