全等三角形創(chuàng)新題賞析

　　隨著課程改革的不斷深入，一大批格調(diào)清新、設(shè)計(jì)獨(dú)特的開放型、探究型、操作型等創(chuàng)新題紛紛在各地中考試卷上閃亮登場(chǎng)。近年來，有關(guān)全等三角形的創(chuàng)新題更令人耳目一新、目不暇接;試題以它的新穎性、思辨性摒棄模式、推陳出新，創(chuàng)造性地描繪了一個(gè)絢麗多姿的圖形世界�，F(xiàn)采擷近兩年中考試題歸類分析，希望對(duì)大家有所幫助和啟發(fā)。

　　一、條件開放型

　　例1 (2006年浙江金華卷)如圖，△ABC與△ABD中，AD與BC相交于O點(diǎn)，∠1=∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件(不再添加其它線段，不再標(biāo)注或使用其他字母)，使AC=BD，并給出證明。

　　你添加的條件是：__________。

　　證明：

　　分析：此題答案不唯一，若按照以下方式之一來添加條件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，從而有AC=BD。

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，要由已知條件結(jié)合圖形通過逆向思維找出合適的條件，有一定的開放性和思考性。

　　二、結(jié)論開放型

　　例2 (2005年福建)如圖，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。由這些條件可以得到若干結(jié)論，請(qǐng)你寫出其中三個(gè)正確的結(jié)論。

　　(不要添加字母和輔助線，不要求證明)

　　結(jié)論1：

　　結(jié)論2：

　　結(jié)論3：

　　分析：由已知條件不難得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同時(shí)有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB與∠DCB且垂直平分DB等。以上是解決本題的關(guān)鍵所在，也都可以作為最后結(jié)論。

　　點(diǎn)評(píng)：本題是源于課本而高于課本的一道基本題，可解題思路具有多項(xiàng)發(fā)散性，體現(xiàn)了新課程下對(duì)雙基的考查毫不動(dòng)搖，且更具有靈活性。

　　三、綜合開放型

　　例3 (2006年攀枝花市)如圖，點(diǎn)E在AB上，AC=AD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。

　　所添?xiàng)l件____________。

　　你得到的一對(duì)全等三角形是△________≌△________。

　　證明：

　　分析：在已知條件中已有一組邊相等，另外圖形中還有一組公共邊。因此只要添加以下條件之一：①CE=DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根據(jù)SSS或SAS證得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE;并且在此基礎(chǔ)上又可以進(jìn)一步得到△CEB≌△DEB。

　　點(diǎn)評(píng)：本題屬于條件和結(jié)論同時(shí)開放的一道好題目，題目本身并不復(fù)雜，但開放程度較高，能激起學(xué)生的發(fā)散思維，值得重視。

　　四、構(gòu)造命題型

　　例4 (2006年內(nèi)江市)如圖(4)，在△ABD和△ACE中，有下列四個(gè)等式：

　�、貯B=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE。

　　請(qǐng)你以其中三個(gè)等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題(要求寫出已知、求證及證明過程)

　　分析：根據(jù)三角形全等的條件和全等三角形的特征，本題有以下兩種組合方式：

　　組合一：條件 ①②③ 結(jié)論：④

　　組合二：條件 ①②④ 結(jié)論：③

　　值得一提的是，若以②③④或①③④為條件，此時(shí)屬于SSA的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則不能證得△ABC≌△DEF，也就不能組成真命題。

　　評(píng)析：幾何演繹推理論證該如何考?一直是大家所關(guān)注的。本題頗有新意，提供了一種較新的考查方式，讓學(xué)生自主構(gòu)造問題，自行設(shè)計(jì)命題并加以論證，給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自主探究的機(jī)會(huì)，具有一定的挑戰(zhàn)性。這種考查的形式值得重視。

　　五、猜想證明型

　　例5 (2006年大連市)如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD所在直線上兩點(diǎn)，DE=BF，請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需研究一組線段相等即可)。

　　(1)連結(jié)_________;

　　(2)猜想：_________;

　　(3)證明：

　　(說明：寫出證明過程的重要依據(jù))

　　分析：連接FC，猜想：AC=CF。

　　由平行四邊形對(duì)邊平行且相等，有AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC;再加上DE=BF，因此，只要連接FC，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS，容易證得△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF，從而得到AE=CF。

　　點(diǎn)評(píng)：此題為探索、猜想、并證明的試題。猜想是一種高層次的思維活動(dòng)，在先觀察的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)可能性的猜想，再嘗試能夠證明它，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。本題難度不大，但結(jié)構(gòu)較新，改變了傳統(tǒng)的固有模式。

　　六、判斷說理型

　　例6 (2006年山東棗莊市大綱卷)兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC。試判斷△EMC的形狀，并說明理由。

　　分析：△EMC是等腰直角三角形。由已知條件可以得到：

　　DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°

　　∠DAB=90°。連接AM。由DM=MB可知

　　MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°

　　從而∠MDE=∠MAC=105°即△EDM≌△CAM。

　　因此EM=MC，∠DME=∠AMC

　　又易得∠EMC=90°

　　所以△EMC是等腰直角三角形。

　　點(diǎn)評(píng)：本題以三角板為載體，沒有采取原有的那種過于死板的形式，在一定程度上能激發(fā)學(xué)生的解題欲望��先判斷，再說理，試題平中見奇，奇而不怪，獨(dú)具匠心，堪稱好題。

　　七、拼圖證明型

　　例7 (2005江西省)一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上。

　　(1)求證AB⊥ED;

　　(2)若PB=BC。請(qǐng)找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并給予證明。

　　分析：(1)在已知條件的背景下，顯然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D;又∠ANP=∠DNC，因而不難得∠APN=∠DCN=90°，即AB⊥ED。

　　(2)由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°

　　又PB=BC及∠PBD=∠CBA

　　根據(jù)ASA有△PBD≌△CBA，在此基礎(chǔ)上，就不難得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB。

　　點(diǎn)評(píng)：本題將幾何證明融入到剪紙活動(dòng)中，讓學(xué)生在剪、拼等操作中去發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，較好地體現(xiàn)了新課程下“做數(shù)學(xué)”的理念。(2)題結(jié)論開放，而且結(jié)論豐富，學(xué)生可以從不同的角度去進(jìn)行探索，在參與圖形的變化過程及探究活動(dòng)中創(chuàng)造性地激活了思維，令人回味。

　　八、閱讀歸納型

　　例8 (2006浙江省紹興市)我們知道，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。那么在什么情況下，它們會(huì)全等?

　　(1)閱讀與證明：

　　對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)�等�?/p>

　　對(duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)��?證明略)

　　對(duì)于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：

　　已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。

　　求證：△ABC≌△A1B1C1。

　　(請(qǐng)你將下列證明過程補(bǔ)充完整)

　　證明：分別過點(diǎn)B，B1作BD⊥CA于D，

　　B1D1⊥C1A1于D1

　　則∠BDC=∠B1D1C1=90°

　　∵BC=B1C1，∠C=∠C1

　　∴△BCD≌△B1C1D1

　　∴BD=B1D1

　　(2)歸納與敘述：

　　由(1)可得到一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)你寫出這個(gè)結(jié)論。

　　分析：(1)由條件AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1，

　　又由∠C=∠C1，BC=B1C1

　　從而得到△ABC≌△A1B1C1。

　　(2)歸納為：兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)銳角三角形(或直角三角形或鈍角三角形)是全等的。

　　點(diǎn)評(píng)：邊邊角問題是全等三角形判定中的難點(diǎn)，也是學(xué)生易出錯(cuò)的內(nèi)容，要涉及三角形形狀的分類。本題構(gòu)思新穎，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)了閱讀情境，引領(lǐng)學(xué)生跨越障礙，引導(dǎo)學(xué)生合情推理并總結(jié)概括，考查了學(xué)生閱讀理解、類比、概括等綜合能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生靈活、精細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)。

　　九、作圖證明型

　　例9 (2006浙江省湖州市改編)已知Rt△ABC中，∠C=90°

　　(1)根據(jù)要求作圖(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法)

　�、僮�∠BAC的平分線AD交BC于D;

　�、谧骶�段AD的垂直平分線交AB于E，交AC于F，垂足為H;

　�、圻B接ED。

　　(2)在(1)的基礎(chǔ)上寫出一對(duì)全等三角形：

　　△_______≌△_______并加以證明。

　　分析：(1)按照要求用尺規(guī)作∠BAC的平分線AD、作線段AD的垂直平分線，并連接相關(guān)線段。

　　(2)由AD平分∠BAC，

　　可以得到∠BAD=∠DAC;由EF垂直平分線段AD，

　　可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=AD，

　　從而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共邊，

　　從而有△AEH≌△AFH≌△DEH。以上三組中任選一組即可。

　　點(diǎn)評(píng)：作角平分線和線段的垂直平分線是新課標(biāo)中明確提出的基本作圖之一，動(dòng)手作圖，使學(xué)生在操作活動(dòng)的過程中感受知識(shí)的自然呈現(xiàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的神秘與樂趣，并實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，從而進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的無限魅力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

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