量子進(jìn)化算法用于求解約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的探析

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        摘 要：本文提出了一種用于解決約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的方法。本算法在進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上加入了鄰里競(jìng)爭(zhēng)與鄰里合作算子，并通過(guò)引入agent-based模型的設(shè)計(jì)理念，更加注重個(gè)體變化對(duì)整個(gè)群體的影響。本算法首先使用約束偏離值的方法將約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題;然后使用自我更新算子，當(dāng)新產(chǎn)生的個(gè)體優(yōu)于原先的個(gè)體時(shí)予以替換;之后通過(guò)鄰里競(jìng)爭(zhēng)與鄰里合作加快種群內(nèi)部的信息交流;最后加入量子加速算子，通過(guò)使用量子旋轉(zhuǎn)門(mén)來(lái)擴(kuò)大計(jì)算搜尋范圍提高程序計(jì)算速度。本文最后與兩種已有算法進(jìn)行對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本算法完成了設(shè)計(jì)目標(biāo)。在運(yùn)行時(shí)間和輸出結(jié)果精度方面都有不錯(cuò)的表現(xiàn)。

　　關(guān)鍵詞：約束多目標(biāo)優(yōu)化 約束偏離值 鄰里競(jìng)爭(zhēng) 量子計(jì)算

　　一、引言

　　進(jìn)化算法是以達(dá)爾文的進(jìn)化論思想為基礎(chǔ)，通過(guò)模擬生物進(jìn)化過(guò)程與機(jī)制的求解問(wèn)題的自組織、自適應(yīng)的人工智能技術(shù)。與傳統(tǒng)的優(yōu)化算法相比，進(jìn)化計(jì)算是一種成熟的具有高魯棒性和廣泛適用性的全局優(yōu)化方法，具有自組織、自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)的特性。尤其是在處理多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，進(jìn)化算法表現(xiàn)出很好的效果。

　　近年來(lái)，出現(xiàn)了很多優(yōu)秀的算法用于解決約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其中Deb提出的NSGA-II算法是最為經(jīng)典的一個(gè)算法。NSGA-II成功的將進(jìn)化算法應(yīng)用在約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上，在進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上引入了約束偏離值。Hongguang Li提出了基于agent的進(jìn)化算法用于求解約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。算法利用agent概念認(rèn)為每個(gè)個(gè)體與其種群內(nèi)其他個(gè)體都有相互的作用和影響，雖然算法精度不是很高但是計(jì)算速度很快。本文受到基于agent概念的啟發(fā)，希望設(shè)計(jì)出一個(gè)計(jì)算速度快，精度高的算法。

　　二、量子進(jìn)化算法

　　2.1 鄰里競(jìng)爭(zhēng)與鄰里合作

　　agent-based模型是一種從底層到高層的數(shù)學(xué)模型，模型更加注重的是每個(gè)個(gè)體對(duì)整個(gè)群體的影響，通過(guò)改變個(gè)體的某些特征和表現(xiàn)從而影響整個(gè)整體。本算法在此基礎(chǔ)上，通過(guò)模仿自然界種群內(nèi)部個(gè)體之間既有競(jìng)爭(zhēng)又有合作的關(guān)系，設(shè)計(jì)出了鄰里競(jìng)爭(zhēng)與鄰里合作算子。鄰里競(jìng)爭(zhēng)算子采用的是吞并算子，算子表示如下：

　　設(shè)對(duì)于一個(gè)種群共有k個(gè)個(gè)體X1，X2，…，Xi，每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值分別為，則：

　　(1)

　　其中表示的是新產(chǎn)生的個(gè)體。公式表達(dá)的意義是：每個(gè)個(gè)體與其排名靠后一位的個(gè)體進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，將兩者目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，目標(biāo)函數(shù)值較小的個(gè)體成為這一位置上的新個(gè)體。

　　鄰里合作算子如下：

　　(2)

　　(3)

　　其中，是個(gè)體i、j的第k個(gè)決策變量，且。r，u是分布在[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)。

　　2.2 量子計(jì)算

　　加入量子算子是為了加快計(jì)算速度，希望通過(guò)更少的進(jìn)化代數(shù)進(jìn)化出更加優(yōu)秀的種群。本算法通過(guò)設(shè)計(jì)出一個(gè)對(duì)周?chē)鷧^(qū)域具有自適應(yīng)調(diào)整搜索步長(zhǎng)的量子旋轉(zhuǎn)門(mén)，從而提升量子計(jì)算運(yùn)行效率。量子計(jì)算首先需要將個(gè)體的基因編碼從實(shí)數(shù)編碼形式轉(zhuǎn)換為量子編碼形式，之后通過(guò)量子旋轉(zhuǎn)門(mén)的計(jì)算快速搜索周?chē)�空間尋找更加優(yōu)秀的個(gè)體進(jìn)行輸出。

　　個(gè)體在完成量子旋轉(zhuǎn)門(mén)的計(jì)算后，個(gè)體的基因編碼需要映射回實(shí)數(shù)域，完成其他計(jì)算過(guò)程。量子算子的本質(zhì)也就是通過(guò)將個(gè)體基因編碼轉(zhuǎn)換為量子域，通過(guò)利用量子計(jì)算在量子域具有指數(shù)級(jí)加速和指數(shù)級(jí)存儲(chǔ)的能力，快速的尋找最優(yōu)解的過(guò)程。

　　2.3 算法的主要流程

　　圖1為本算法流程圖。算法采用順序結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單， 在進(jìn)化計(jì)算的基礎(chǔ)上首先使用了約束偏離值的方法，將約束多目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。其次借鑒了基于agent模型里種群中個(gè)體之間又相互的影響和作用，設(shè)計(jì)了鄰里競(jìng)爭(zhēng)與鄰里合作算子。又利用了量子計(jì)算的加速性能，提升了算法的運(yùn)行速度。

　　若為第一代種群，本算法通過(guò)之前修正好的目標(biāo)函數(shù)向量進(jìn)行選擇，首先在可行解里選取非支配解，形成種群FeaPop，并在全部種群中尋找非支配解，放入種群NonPop中;若不是第一代種群，則將上一代產(chǎn)生的父代FeaPop與當(dāng)代的進(jìn)化種群Pop合并形成NPop，在合并之后的種群里再去尋找可行非支配解形成當(dāng)代的FeaPop種群，尋找非支配解形成當(dāng)代的NonPop。變異算子對(duì)于防止種群陷入局部最優(yōu)解起到了重要的作用，本算法采用文獻(xiàn)中非一致性變異算子。

　　三、仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

　　本文的測(cè)試問(wèn)題是Deb提出的六個(gè)經(jīng)典的約束多目標(biāo)最小化問(wèn)題， 算法參數(shù)設(shè)計(jì)為：初始種群大小為100，合作概率為0.9， 合作指數(shù)為10，變異概率為0.5，非一致系數(shù)為2，自我更新指數(shù)為20。最大的可行非支配解集FeaPop大小為100，非支配解集NonPop大小為100。對(duì)比算法初始種群大小為100， 交叉概率為0.9， 交叉分布指數(shù)為15， 變異概率為0.1， 變異分布指數(shù)為20。

　　文中所有測(cè)試問(wèn)題均獨(dú)立運(yùn)行30次，我們采用的度量指標(biāo)分別為GD和算法運(yùn)行時(shí)間。世代距離指標(biāo)(GD)，是度量算法所得Pareto前端與真實(shí)前端之間的距離。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下式所示：

　　(4)

　　其中，，n為個(gè)體數(shù)目，是中第個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)向量與中最近個(gè)體間的歐氏距離。GD值越小，所求得的前端就越接近真實(shí)前端，解集的收斂性就越好。運(yùn)行時(shí)間則是算法的跑完相同進(jìn)化代數(shù)所需要的時(shí)間，時(shí)間越短說(shuō)明算法運(yùn)行速度越快，本文中涉及到的幾種算法運(yùn)行代數(shù)均為1000代。

　　表1給出本文算法與兩種對(duì)比算法運(yùn)行6測(cè)試問(wèn)題的結(jié)果。

　　CTP2、CTP7是尋找離散的幾個(gè)線(xiàn)段，CTP3、CTP4兩個(gè)問(wèn)題要尋找的Pareto前端都是離散的端點(diǎn)，CTP5是離散點(diǎn)和線(xiàn)段的組合，CTP6問(wèn)題是尋找連續(xù)的直線(xiàn)。從表中我們可以看出幾種算法對(duì)于處理CTP2問(wèn)題都有不錯(cuò)的結(jié)果，都可以很好地找到幾個(gè)離散端點(diǎn)。對(duì)于CTP3和CTP4問(wèn)題由于測(cè)試函數(shù)難度的加大，算法[3]已不能很好地找出真實(shí)Pareto前端所在位置，而NSGA-II、本算法還能找到真實(shí)Pareto前端所在區(qū)域，不過(guò)已經(jīng)無(wú)法做到很精準(zhǔn)的定位Pareto前端的位置。對(duì)于CTP5，幾種算法在找離散點(diǎn)的能力都很不錯(cuò)。對(duì)于CTP6問(wèn)題幾種算法都找到了Pareto前端，只是均勻性稍有差異。CTP7問(wèn)題，除了算法[3]之外也都很好的找到了前端所在區(qū)域。

　　4 總結(jié)與展望

　　本文算法用于處理約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，在設(shè)計(jì)上借鑒了agent-based模型，更加注意種群中個(gè)體對(duì)整個(gè)種群的影響，通過(guò)進(jìn)行自我更新，鄰里協(xié)作與鄰里競(jìng)爭(zhēng)等操作來(lái)改變個(gè)體的基因編碼，從而改變了整個(gè)種群的進(jìn)化方向進(jìn)化速度，共同朝著真實(shí)的Pareto前端進(jìn)行進(jìn)化。并且本算法融入了量子計(jì)算，使得程序可以更高效更快捷更準(zhǔn)確的去尋找最優(yōu)解。在和現(xiàn)有的幾種算法的對(duì)比上體現(xiàn)出了算法的優(yōu)勢(shì)，在保證精度值的基礎(chǔ)上減少了大量的程序運(yùn)行時(shí)間。不過(guò)提高算法的精度仍然是之后研究的重點(diǎn)。如何更好地處理種群中個(gè)體之間的關(guān)系是我們今后需要進(jìn)一步做的工作。

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