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不等式的性質(zhì)教學方案
一、明確復習目標
掌握不等式的性質(zhì)及其證明,能正確使用這些性質(zhì)解決一些簡單問題
二.建構(gòu)知識網(wǎng)絡
1.比較原理:
兩實數(shù)之間有且只有以下三個大小關(guān)系之一:aa
; ; .
以此可以比較兩個數(shù)(式)的大小,作差比較法.
或作商比較:aa0時, .
2.不等式的性質(zhì):
(1)對稱性: ,
證明:(比較法)
(2)傳遞性: ,
(3)可加性: .
移項法則:
推論:同向不等式可加.
(4)可乘性: ,
推論1:同向(正)可乘:
證明:(綜合法)
推論2:可乘方(正):
(5) 可開方(正):
證明:(反證法)
不等式的性質(zhì)有五個定理,三個推論,一個比較原理,是解、證不等式的基礎,對于這些性質(zhì),關(guān)鍵是正確理解和熟練運用,要弄清每一個條件和結(jié)論,學會對不等式進行條件的放寬和加強
三、雙基題目練練手
1.(2006春上海) 若 ,則下列不等式成立的是( )
A. . B. . C. . D. .
2.(2004北京)已知a、b、c滿足 ,且 ,那么下列選項中不一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
3. 對于實數(shù),下命題正確的是 ( )
A.若a
C.若 ,則 . D.若a0,d0,則
4.(2004春北京)已知三個不等式:ab0,bc-ad0, - 0(其中a、b、c、d均為實數(shù)),用其中兩個不等式作為條件,余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題,可組成的正確命題的個數(shù)是
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(2004遼寧)對于 ,給出下列四個不等式
、 ②
③ ④
其中成立的是_________
6.a0,m0,n0,則 , , , 的由大到小的順序是____________.
練習簡答:1-4.CCCD; 5. ②與④; 6.特殊值法,答案:
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】已知a2,
求c的取值范圍.?
解:∵b2a
c=b-2a0,
b-4 -2a= .
c的取值范圍是:
【例2】設f(x)=ax2+bx,且1f(-1) f(1) 4 ,求f(-2)的取值范圍
解:由已知12, ①, 24 ②
若將f(-2)=4a-2b用a-b與a+b,表示,則問題得解
設4a-2b=m(a-b)+n(a+b), (m,n為待定系數(shù))
即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,
于是得 得:m=3, n=1
由①3+②1得54a-2b10
即5f(-2)10,
另法:由 得
f(-2)=4a-2b=3 f(-1)+ f(1)
特別提醒:常見錯解:由①②解出a和b的范圍,再湊出4a-2b的范圍.錯誤的原因是a和b不同時接近端點值,可借且于線性規(guī)劃知識解釋.
【例3】(1)設A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,當xR+,nN時, 比較A與B的大小.
(2)設00且a ,試比較|log3a(1-x)3|與|log3a(1+x)3|的大小.
解: (1)A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)
=x-n(x2n+1-x2n-1-x)
=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]
=x-n(x-1)(x2n-1-1).
由xR+,x-n0,得
當x1時,x-10,x2n-1-1
當x1時,x-10,x2n-10,即
x-1與x2n-1-1同號.A-B0.AB.
(2)∵0
、佼3a1,即a 時,
|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|
=|3log3a(1-x)|-|3log3a(1+x)|
=3[-log3a(1-x)-log3a(1+x)]
=-3log3a(1-x2).
∵01,-3log3a(1-x2)0.
、诋01,即0
|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|
=3[log3a(1-x)+log3a(1+x)]
=3log3a(1-x2)0.
綜上所述,|log3a(1-x)3||log3a(1+x)3|.
提煉方法:(1)作差分解因式、配方或利用單調(diào)性,分類判斷差式的符號.
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