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高一數(shù)學(xué)圓錐曲線問(wèn)題的探究與發(fā)現(xiàn)教案
一、問(wèn)題導(dǎo)入,引發(fā)探究
師:我在旅游時(shí)買回來(lái)一種磁性蛇蛋玩具(如圖),所謂生活處處皆學(xué)問(wèn)嘛,我把它運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的軸截面用圖形計(jì)算器做出了以下有趣的現(xiàn)象:
兩個(gè)全等的橢圓形卵,相互依偎旋轉(zhuǎn)(動(dòng)畫)。你能通過(guò)所學(xué)解析幾何知識(shí),構(gòu)造出這種有趣的現(xiàn)象嗎?
二、實(shí)驗(yàn)探究,交流發(fā)現(xiàn)
探究1:卵之由來(lái)——橢圓的形成
(1) 單個(gè)定橢圓的形成
橢圓的定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn) 、 的距離之和等于常數(shù)(大于 )的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。(即若平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) 到兩定點(diǎn) 、 的距離之和等于常數(shù)(大于 ),則點(diǎn) 的軌跡為以 、 為焦點(diǎn)的橢圓。)
思考1:如何使 為定值?
(不妨將兩條線段的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)化為一條線段,即在線段 的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) ,使得 ,此時(shí), 為定值則可轉(zhuǎn)化為 為定值。)
思考2:若 為定值,則 點(diǎn)的軌跡是什么?定點(diǎn) 與 點(diǎn)軌跡的位置關(guān)系?
。ㄒ远c(diǎn) 為圓心, 為半徑的圓。由于 > ,則點(diǎn) 在圓內(nèi)。)
思考3:如何確定點(diǎn) 的位置,使得 ,且 ?
。ň段 的中垂線與線段 的交點(diǎn)為點(diǎn) 。)
揭示思路:(高中數(shù)學(xué)選修2-1 P49 7) 如圖,圓 的半徑為定長(zhǎng) , 是圓 內(nèi)一個(gè)定點(diǎn), 是圓上任意一點(diǎn),線段 的垂直平分線l和半徑 相交于點(diǎn) ,當(dāng)點(diǎn) 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn) 的軌跡是什么?為什么?
(設(shè)圓 的半徑為 ,由橢圓定義, (常數(shù)),且 ,所以當(dāng)點(diǎn) 在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn) 的軌跡是以 為焦點(diǎn)的橢圓。)
圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證:以圓 與定點(diǎn) 所在直線為 軸, 中垂線為 軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓半徑 , ,即圓 ,點(diǎn) ,則 點(diǎn)軌跡是以以 為焦點(diǎn)的橢圓,橢圓方程 為 。
(2) 單個(gè)動(dòng)橢圓的形成
思考4:構(gòu)造一種動(dòng)橢圓的方式
。ㄓ捎跈E圓形狀不變,即離心率不變,而長(zhǎng)軸長(zhǎng) 為定值,則 也要為定值,因此可將圓內(nèi)點(diǎn) 取在圓 的同心圓 上,當(dāng)點(diǎn) 在圓 上動(dòng)時(shí),即可得到動(dòng)橢圓。)
圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證:當(dāng)圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn) 取在圓 的同心圓 上,運(yùn)動(dòng)點(diǎn) ,即得到動(dòng)橢圓。
(3) 兩個(gè)橢圓的形成
觀察兩個(gè)橢圓相互依偎旋轉(zhuǎn)的幾個(gè)畫面,分析兩橢圓的位置關(guān)系。判斷兩個(gè)橢圓關(guān)于對(duì)稱軸 對(duì)稱,且直線 過(guò)兩橢圓公共點(diǎn),所以直線 為兩橢圓的公切線。
因而找到公切線 ,作橢圓 關(guān)于切線 的對(duì)稱橢圓 即可。
探究2:卵之所依——切線的判斷與證明
線段 的垂直平分線 與橢圓的位置關(guān)系
(1) 利用圖形計(jì)算器中的“圖象分析”工具直觀判斷 與橢圓的位置關(guān)系.設(shè)圓 上動(dòng)點(diǎn) ,則線段 的中垂線 的方程為 ,將動(dòng)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)保存為變量 ,縱坐標(biāo)保存為變量 ,隨著 點(diǎn)的改變,在Graphs中畫出相應(yīng)的動(dòng)直線 .用圖形計(jì)算器中的“圖象分析”工具找出橢圓所在區(qū)域內(nèi)的直線 與橢圓的交點(diǎn),拖動(dòng)點(diǎn) ,動(dòng)態(tài)觀測(cè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化,發(fā)現(xiàn)無(wú)論點(diǎn) 在何處,動(dòng)直線 與橢圓只有唯一一個(gè)交點(diǎn) ,因此判斷直線 與橢圓相切,并可求出該切點(diǎn) 的坐標(biāo).也可以將橢圓方程與直線方程聯(lián)立,用“代數(shù)”工具中的slve()求出方程組的解,從而判斷根的情況.
(2) 證明橢圓 與直線 相切.
不妨設(shè)直線 : ,其中 , ,與橢圓方程聯(lián)立 ,得 ,因此
,
將 , , 代入上式,用“代數(shù)”工具中的expand()化簡(jiǎn)式子,得 ,所以橢圓與直線 相切,切點(diǎn)為 .
(3) 證明由任意圓 上的動(dòng)點(diǎn) 和圓內(nèi)一點(diǎn) 確定的橢圓 與線段 中垂線 均相切(反證法)
因?yàn)闄E圓 是點(diǎn) 的軌跡,而點(diǎn) 是直線 與線段 中垂線 的交點(diǎn),所以點(diǎn) 既在橢圓 上,也在直線 上。因此,直線 與橢圓至少有一個(gè)公共點(diǎn),即直線 與橢圓相切或相交。
假設(shè)直線 與橢圓相交,設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為 ( 與 不重合).因?yàn)?,所以 ;又因?yàn)?,
所以 為定值,而 ,矛盾.因此直線 與橢圓相切。
探究3:兩卵相依——對(duì)稱旋轉(zhuǎn)橢圓的形成與動(dòng)畫
當(dāng)圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn) 取在圓 的同心圓 上,作橢圓 關(guān)于切線 的對(duì)稱橢圓 ,運(yùn)動(dòng)點(diǎn) ,隱藏相關(guān)坐標(biāo)系與輔助圓等圖形,呈現(xiàn)兩卵相互依偎旋轉(zhuǎn)的有趣效果。
改變一些問(wèn)題條件,進(jìn)行深入探究與發(fā)現(xiàn)。
探究4:改變 點(diǎn)位置,探究點(diǎn) 軌跡
(1) 曲線判斷:利用TI圖形計(jì)算器作圖分析,拖動(dòng)點(diǎn) ,當(dāng)點(diǎn) 在定圓 內(nèi)且不與圓心 重合時(shí),交點(diǎn) 的軌跡是橢圓;當(dāng)點(diǎn) 在定圓 外時(shí),則 ,交點(diǎn) 的軌跡是雙曲線;當(dāng)點(diǎn) 與圓心 重合時(shí),點(diǎn) 的軌跡是圓 的同心圓;當(dāng)點(diǎn) 在圓周上時(shí),點(diǎn) 的軌跡是是一點(diǎn)(圓心 ).
(2) 方程證明:圓 ,設(shè)點(diǎn) ,可解得點(diǎn) 的軌跡方程為
,
當(dāng) 或 時(shí),點(diǎn) 的軌跡為圓心 ;
當(dāng) 且 時(shí),點(diǎn) 的軌跡方程為
,
當(dāng) 時(shí),點(diǎn) 的軌跡為圓: ;
當(dāng) 且 時(shí),點(diǎn) 的軌跡為橢圓;
當(dāng) 或 時(shí),點(diǎn) 的軌跡為雙曲線。
探究5:改變切線位置,探究由切線得到的包絡(luò)圖形
查閱有關(guān)參考書籍,了解圓錐曲線的包絡(luò)線,并利用圖形計(jì)算器作出橢圓、雙曲線的包絡(luò)圖形,自主探究拋物線的包絡(luò)線(將定圓改為定直線)。
結(jié)論:所謂包絡(luò)圖,就是指有一條曲線按照一定運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng),保留其所有瞬間位置的影像,會(huì)有一條曲線能夠和該運(yùn)動(dòng)曲線所有位置相切,這條曲線就成為該運(yùn)動(dòng)曲線的包絡(luò)線。
探究6:拓展延伸:橢圓切線的幾個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用
性質(zhì)1: 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若點(diǎn) 是橢圓上異于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的任一點(diǎn),則 點(diǎn)的切線平分 的外角。
性質(zhì)1′: 點(diǎn)處的法線(過(guò) 點(diǎn)且垂直于切線)平分 。(即為橢圓的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過(guò)橢圓反射后,反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。)
課后探究:閱讀數(shù)學(xué)選修2-1 P75 閱讀與思考——圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用,了解雙曲線、拋物線的光學(xué)性質(zhì)。
練習(xí)1:已知 為橢圓 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) 為橢圓上任一點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn) 向 作垂線,垂足為 ,則點(diǎn) 的軌跡是_____________,軌跡方程是_______________。
解:(1) 直觀判斷:作軌跡
(2) 嚴(yán)謹(jǐn)證明:圓的定義
由此得到:
性質(zhì)2: 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn), 是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),過(guò)橢圓上異于 的任一點(diǎn) 的切線,過(guò) 做切線的垂線,垂足分別為 ,則 在以長(zhǎng)軸為直徑的圓上。
練習(xí)2:已知 為橢圓 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) 為橢圓上任一點(diǎn),直線 與橢圓相切與點(diǎn) ,且 到 的垂線長(zhǎng)分別為 ,求證: 為定值。
解:(1) 直觀判斷:作圖
(2) 嚴(yán)謹(jǐn)證明:利用性質(zhì)2及圓的相交弦性質(zhì),
由此得到:
性質(zhì)3:已知橢圓為 ,則焦點(diǎn) 到橢圓任一切線的垂線長(zhǎng)乘積等于 。
課后探究2:已知 為橢圓 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) 為橢圓上任一點(diǎn),直線 過(guò)點(diǎn) ,且 到 的垂線長(zhǎng)分別為 ,則
① 當(dāng) 時(shí),直線 與橢圓的位置關(guān)系;(相交)
、 當(dāng) 時(shí),直線 與橢圓的位置關(guān)系。(相離)
(類比直線與圓位置關(guān)系的幾何法,此為直線與橢圓位置關(guān)系的幾何法)
課后探究:雙曲線、拋物線的切線是否有類似性質(zhì)?
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