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例談二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題
二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最基本也最重要的內(nèi)容之一，而二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，是初中二次函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)，隨著區(qū)間的確定或變化，以及系數(shù)中參變數(shù)的變化，它又成為高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn).
一、求定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值
當(dāng)二次函數(shù)的區(qū)間和對(duì)稱軸都確定時(shí)，要將函數(shù)式配方，再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求其最值.
【例1】 已知2x2≤3x，求函數(shù)f(x)=x2-x+1的最值.
解:由已知2x2≤3x，可得0≤x≤32，即函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，32]上的二次函數(shù)，將二次函數(shù)配方得f(x)=(x-12)2+34，其圖象開口向上，且對(duì)稱軸方程x=12∈[0，32]，故f(x)?max=f(32)=74，f(x)?min=f(12)=34.
二、求動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值
當(dāng)二次函數(shù)的區(qū)間確定而對(duì)稱軸變化時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況分別討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合其單調(diào)性求解.
【例2】 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+4ax+a2-1在區(qū)間[-4，1]上的最大值是5，求實(shí)數(shù)a的值.
解:將二次函數(shù)配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1，其對(duì)稱軸方程為x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，a2-4a-1)，圖象開口方向由a決定，很明顯，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間[-4，1]上.若a<0，則函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最大值5，即f(-2)=a2-4a-1=5，解得a=2-10(a=2+10舍去);若a>0，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值5，即f(1)=5a+a2-1=5，解得a=1(a=-6舍去).綜上討論，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-4，1]上取得最大值5時(shí)，a=2-10或a=1.
三、求定二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值
當(dāng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸確定而區(qū)間在變化時(shí)，只需對(duì)動(dòng)區(qū)間能否包含拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論.
【例3】 已知函數(shù)f(x)=-x2+8x，求f(x)在區(qū)間[t，t+1]上的最大值g(t).
解:函數(shù)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16，其對(duì)稱軸方程為x=4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，16)，其圖象開口向下.
(1)當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間[t，t+1]右側(cè)時(shí)，有t+1<4，即t<3，當(dāng)x=t+1時(shí)，g(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7.
(2)當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間[t，t+1]上時(shí)，有t≤4≤t+1，即3≤t≤4，當(dāng)x=4時(shí)，g(t)=f(4)=16.
(3)當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間[t，t+1]左側(cè)時(shí)，有t>4，當(dāng)x=t時(shí)，g(t)=f(t)=-t2+8t.
綜上，g(t)=-t2+6t+7，當(dāng)t<3時(shí);16，當(dāng)3≤t≤4時(shí);-t2+8t，當(dāng)t>4時(shí).
四、求動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值
當(dāng)二次函數(shù)的區(qū)間和對(duì)稱軸均在變化時(shí)，亦可根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)及穿過區(qū)間三種情況討論，并結(jié)合其圖形和單調(diào)性處理.
【例4】 已知y2=4a(x-a)(a>0)，且當(dāng)x≥a時(shí)，S=(x-3)2+y2的最小值為4，求參數(shù)a的值.
解:將y2=4a(x-a)代入S的表達(dá)式得S=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.
S是關(guān)于x的二次函數(shù)，其定義域?yàn)閤∈[a，+∞)，對(duì)稱軸方程為x=3-2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3-2a，12a-8a2)，圖象開口向上.若3-2a≥a，即02=4，此時(shí)a=1或a=12.若3-2a1，則當(dāng)x=a時(shí)，S?min=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4，此時(shí)a=5(a=1舍去).
綜上討論，參變數(shù)a的取值為a=1或a=12或a=5.
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