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反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
舉反例也就是指出某命題不成立的例子，數(shù)學(xué)中常常需要利用反例來(lái)判斷一個(gè)命題是假命題。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，反例與證明占有同等重要的地位。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)亻_發(fā)和使用反例，引導(dǎo)學(xué)生去構(gòu)造反例，長(zhǎng)期訓(xùn)練學(xué)生構(gòu)造反例的能力，就能為學(xué)生找到從模糊錯(cuò)誤的思維中通往豁然開朗的橋梁，從而收到事半功倍的教學(xué)效果。下面小編就為大家整理了關(guān)于反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用的論文，歡迎大家借鑒!
摘 要： 我們知道，要判斷一個(gè)命題是真命題，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的論證。而要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一些例子，它符合命題的題設(shè)，但是不滿足命題的結(jié)論就可以了，這就是舉反例。正如美國(guó)數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆指出：“數(shù)學(xué)由兩大類――證明和反例組成。而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個(gè)主要目標(biāo)――提出證明和構(gòu)造反例……”。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)問題的探索中，猜想的結(jié)論未必正確，正確的需要證明，謬誤的則依靠反例。
關(guān)鍵詞：反例 數(shù)學(xué)教學(xué) 作用
因反例具有直觀、明顯、說(shuō)服力強(qiáng)等突出特點(diǎn)，決定了它在數(shù)學(xué)教學(xué)中也有著不可替代的作用。下面筆者就舉反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用談幾點(diǎn)見解，以供參考。
一、深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)定理、公式和法則等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握
在初中數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)定理、公式和法則等的教學(xué)中，我們不僅要運(yùn)用正面的例子加以深刻闡明，而且要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆蠢龔牧硗庖粋�(gè)側(cè)面抓住它們的本質(zhì)，彌補(bǔ)正面教學(xué)的不足，從而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)定理、公式和法則等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握。數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，對(duì)數(shù)學(xué)概念的定義的闡述是極其嚴(yán)密的。并且數(shù)學(xué)中有許多定理、公式或法則的運(yùn)用范圍都有相應(yīng)的條件要求或限制。學(xué)生在運(yùn)用時(shí)往往不注意分析具體條件而生搬硬套。因此教學(xué)活動(dòng)中，教師不僅要講清這些定理、公式或者法則的運(yùn)用范圍或運(yùn)用時(shí)條件的限制，而且要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知狀況恰當(dāng)舉反例，幫助學(xué)生牢固掌握相應(yīng)的定理、公式和法則。
初中數(shù)學(xué)中的一些概念、二次根式的運(yùn)算法則以及比例的性質(zhì)等，對(duì)于初學(xué)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，對(duì)它們的理解常常模糊不清，在講授這些知識(shí)的時(shí)候，如果只從正面論述，同學(xué)們對(duì)知識(shí)的理解并不深刻，如果配合一些反例來(lái)說(shuō)明，效果就截然不同。例如在學(xué)習(xí)同類二次根式的概念時(shí)，許多學(xué)生往往片面地認(rèn)為，只有被開方數(shù)相同的二次根式才是同類二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式就不是同類二次根式。這是對(duì)同類二次根式的概念理解不夠?qū)е碌腻e(cuò)誤。為了幫助學(xué)生糾正這種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，教師在進(jìn)行同類二次根式概念的教學(xué)時(shí)，可以舉反例。向?qū)W生提出問題“ 和 是同類二次根式嗎?”。然后師生共同討論得出，由于 和 都不是最簡(jiǎn)二次根式，應(yīng)化為最簡(jiǎn)二次根式后，再進(jìn)行判斷。即 =3 ，而 =2 。顯然，由同類二次根式的概念可知， 和 是同類二次根式。這樣，通過(guò)舉反例，學(xué)生將自覺體會(huì)到，同類二次根式是指“幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同”這一本質(zhì)特點(diǎn)。
二、促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生思維的慎密性
一般來(lái)說(shuō)，構(gòu)造反例不象提出證明那樣有清晰可循的邏輯途徑，而給人一種不可捉摸的感覺，但它是一項(xiàng)積極的創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，是一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。
例如在探討“如果x2+kx+1是一個(gè)完全平方式，則k=____”這個(gè)常見問題時(shí)，通常我們是根據(jù)完全平方式的定義“形如a2±2ab+b2這樣的式子叫完全平方式”，從而得到k=±2這一習(xí)慣性錯(cuò)誤。為了矯正這一錯(cuò)誤，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生思維的慎密性。 我們可以舉出一些k≠±2并且符合條件的以下一些反例：
通過(guò)舉反例，促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)了學(xué)生思維的慎密性。
三、能有效地克服學(xué)生在解題中產(chǎn)生的消極思維定勢(shì)
消極的思維定勢(shì)表現(xiàn)為在定勢(shì)的防礙下學(xué)習(xí)者不易改變思維方向，而用既定的思路去解決已發(fā)生變更的問題，以致解題錯(cuò)誤。要克服消極思維定勢(shì)的影響時(shí)，可舉反例打破消極定勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)質(zhì)上分析并解決問題。中學(xué)生看問題也常常被事物的表象所迷惑，而干擾他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。此時(shí)可舉反例，排除“干擾”，揭示本質(zhì)。
如學(xué)生在學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)后，由于定勢(shì)思維的作用，部分學(xué)生片面地認(rèn)為，只要是同位角或內(nèi)錯(cuò)角就相等;只要是同旁內(nèi)角就互補(bǔ)。為了矯正這種錯(cuò)誤，教師可以舉反例，通過(guò)畫出相應(yīng)的同位角或內(nèi)錯(cuò)角不相等以及同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的圖形，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到只有兩直線平行，同位角或內(nèi)錯(cuò)角才相等，同旁內(nèi)角才互補(bǔ)。從而加深了學(xué)生對(duì)平行線的性質(zhì)的理解。
對(duì)于以上的問題，學(xué)生一開始認(rèn)為是正確的，但舉出反例之后，學(xué)生馬上知道錯(cuò)誤所在，同時(shí)也體會(huì)到對(duì)待每一個(gè)數(shù)學(xué)問題都要認(rèn)真思考，稍有不慎便有可能出現(xiàn)漏洞。
四、提高學(xué)生分析問題和解決問題的力
如在學(xué)習(xí)一次函數(shù)知識(shí)時(shí)，學(xué)生往往抓不住其中“因變量隨自變量的變化是均勻的”這一本質(zhì)特征，常把一些不屬于一次函數(shù)的問題當(dāng)作一次函數(shù)的問題來(lái)解答。有的學(xué)生看到松樹的年齡增大，它的高度也隨著增加，就毫不猶豫地把“松樹的高度和松樹的年齡”之間判定為一次函數(shù)關(guān)系。這時(shí)教師可以通過(guò)構(gòu)造反例指出，當(dāng)松樹的年齡增大到一定程度時(shí)，松樹的高度增加已經(jīng)不很明顯了。所以，松樹的高度和松樹的年齡之間并不是一次函數(shù)關(guān)系。而在三角形全等的“邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊”定理的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)構(gòu)造 “三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一全等”與“兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等”的反例，學(xué)生不僅知道了判定兩個(gè)三角形全等的方法，更重要得是經(jīng)歷了這個(gè)過(guò)程，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高了分析問題和解決問題的能力。
總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，構(gòu)造反例和提出證明起著同樣的作用。構(gòu)造反例是我們深化理解知識(shí)、辨析錯(cuò)誤、培養(yǎng)創(chuàng)造性的有力工具。它在幫助我們發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)真理、強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握以及培養(yǎng)學(xué)生的思維能力等方面的意義和作用是不可低估的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)亻_發(fā)和使用反例，引導(dǎo)學(xué)生去構(gòu)造反例，長(zhǎng)期訓(xùn)練學(xué)生構(gòu)造反例的能力，就能為學(xué)生找到從模糊錯(cuò)誤的思維中通往豁然開朗的橋梁，從而收到事半功倍的教學(xué)效果。
參考文獻(xiàn)
[1] 張禎霞.淺談反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].新課程研究(基礎(chǔ)教育). 2010(12)
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[3] 孟凡朋.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例教學(xué)的重要性[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2010年02期
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