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三角函數(shù)的最值求法論文
三角函數(shù)的最值求法論文通過舉例說明分析了三角函數(shù)最值求法中常見錯(cuò)誤和解題技巧。
三角函數(shù)的最值求法論文【1】
摘 要:三角函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見的概念,在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是最重要的組成部分,三角函數(shù)的公式復(fù)雜多變,需要解題人員具有扎實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和對(duì)公式靈活運(yùn)用的頭腦,此外,三角函數(shù)的內(nèi)容具有抽象性、綜合性、技巧性,這樣增加了理解難度和學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握程度。
關(guān)鍵詞:三角函數(shù);最值;題解
前言
在數(shù)學(xué)教學(xué)中三角函數(shù)是學(xué)習(xí)章程中獨(dú)立的一章,也是在歷年的考試中重要的考點(diǎn)之一,要想把三角函數(shù)學(xué)好,首先必須要對(duì)之前所學(xué)的三角公式靈活運(yùn)用,能快速的看出需要變形的恒等。
三角函數(shù)的最值運(yùn)算是結(jié)合了許多數(shù)學(xué)知識(shí)和運(yùn)算方法,所以在解題的過程中很可能會(huì)因?yàn)樽冃五e(cuò)誤、問題理解錯(cuò)誤等諸多問題而最后影響了運(yùn)算結(jié)果。
所以在學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值的時(shí)候,同學(xué)們應(yīng)有針對(duì)性的學(xué)習(xí),對(duì)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)提前預(yù)習(xí),理解滲透三角函數(shù)的應(yīng)用公式,學(xué)習(xí)的時(shí)候注意聽老師的思維方法和解題步驟,這樣會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值有很大的幫助。
在求最值的問題的時(shí)候首先要了解求什么類型的最值,其中三角函數(shù)的的最值是利用三角函數(shù)性質(zhì)來解決,如果是求一般的最值問題,現(xiàn)在普遍運(yùn)用的方法一種是利用函數(shù)的單調(diào)性,另一種是利用導(dǎo)數(shù),在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前可以把曾經(jīng)做過的有關(guān)最值問題進(jìn)行細(xì)致總結(jié),分析題目中所給出的幾個(gè)方向,方向的選擇是通過讀題,如果出現(xiàn)多套思路,只要靈活運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)方法去處理問題就行。
1 求三角函數(shù)最值的方法
求三角函數(shù)最值的方法有很多,其中最常用的有配方法、反求法、分離常數(shù)法、輔助角法、換元法、不等式法等方法,但是在學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值的時(shí)候,如果讓學(xué)生學(xué)習(xí)如此多的方法,會(huì)使他們?cè)斐晒交靵y更加難以理解學(xué)習(xí)的內(nèi)容,學(xué)到最后連最基本的方法都沒有掌握,出現(xiàn)“丟西瓜撿芝麻”的情況。
所以在學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值的時(shí)候,重點(diǎn)掌握三種方法,它們是所有方法當(dāng)中最基本也是最常用的,有配方法、反求法、輔助角法,其中反求法的應(yīng)用范圍與分離常數(shù)法是異曲同工之妙,它們都要在掌握變形的是同時(shí)又需要靈活運(yùn)用,這種方法通俗易懂、化繁為簡(jiǎn),但是分離常數(shù)法不能像反求法一樣作為重點(diǎn)學(xué)習(xí)。
在對(duì)運(yùn)算公式和方法融會(huì)貫通之后,就要運(yùn)用實(shí)例來測(cè)試自己的學(xué)習(xí)成果,但不是所有的例題都能反映出學(xué)習(xí)效果,要做有特點(diǎn)的例題,因?yàn)檫@種例題能夠很好的反映和體現(xiàn)三角函數(shù)最值的求法和變形,還能通過這種例題反映出在做題過程中應(yīng)注意的細(xì)節(jié)問題和容易出錯(cuò)的地方,通過做題更深入的了解這三種運(yùn)算三角函數(shù)最值的方法。
三角函數(shù)最值的學(xué)習(xí)還是要通過老師得講解和同學(xué)的實(shí)際運(yùn)算相結(jié)合,因?yàn)槿呛瘮?shù)最值的方法是固定的,只有在老師講解完學(xué)生理解之后才能自己獨(dú)立做練習(xí)題,只有充分發(fā)揮這三種方法,并多加練習(xí),才能提高三角函數(shù)最值的學(xué)習(xí)效率。
2 三角函數(shù)最值的解題思路
如果是屬于三角函數(shù)方向的題目,在解題思路上不應(yīng)該出現(xiàn)不容易把握的狀況,那么在三角變換這個(gè)方向上,三角題目的解題方向有的同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中把握不好,其中有很多原因,比如在答題時(shí)看到題目,套用一個(gè)公式寫上去,答完之后發(fā)現(xiàn)所用的公式不對(duì),然后重新再換一個(gè)公式答題。
總是這樣的反復(fù)套用,就顯得思路混亂,對(duì)公式的掌握程度不夠,往往有的時(shí)候,第一次考慮一個(gè)公式往上一用,題目解的很順,就會(huì)認(rèn)為已經(jīng)對(duì)三角函數(shù)掌握的很好,但是當(dāng)下一次依然運(yùn)用這個(gè)公式的時(shí)候,問題沒有解開,然后又選擇第二個(gè)甚至第三個(gè)公式,依舊解不開,于是會(huì)對(duì)心里就會(huì)產(chǎn)生影響,這是學(xué)生在學(xué)習(xí)三角變換中很常見的現(xiàn)象。
主要原因就是因?yàn)槿呛瘮?shù)的公式很多,變換的形式多變,這就好像走到了十字路口,然后站在中間,接下來還有許多條路,但是我們只需要選擇最短最快的一條路,而我們站在路中間看不清楚,這跟解答三角函數(shù)最值問題是相似的,所以就要求在解答三角函數(shù)最值的時(shí)候?qū)σ阎獥l件仔細(xì)研究,準(zhǔn)確分析,根據(jù)具體的題目,考慮是先從和角公式還是差角公式著手,然后在分析兩角之間存在的必然關(guān)系,函數(shù)與函數(shù)的關(guān)聯(lián),題目分析準(zhǔn)確之后掌握好解題方向,把應(yīng)該用到的公式結(jié)合起來,按照解題步驟一步一步的解答。
只有按照以上方法進(jìn)行分析三角函數(shù)最值才是合理的、準(zhǔn)確的。
2.1 給角求值
三角函數(shù)中最值問題應(yīng)熟練掌握三角函數(shù)中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式,還要具有逆向思維的頭腦,將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角例如:30°、60°、90°,寫明求值的過程,然后進(jìn)行解析,總體來講就是先將角度轉(zhuǎn)換在利用切割化弦運(yùn)算依次是化為特殊角最后是約去部分,解決這類問題的關(guān)鍵就是特殊角轉(zhuǎn)換,然后約去非特殊角。
2.2 給值求值
給值求值這種三角函數(shù)求值法的運(yùn)算過程中,經(jīng)常會(huì)遇到同角之間的運(yùn)算關(guān)系和推論方法,給值求值的關(guān)鍵就在于利用已經(jīng)給出的條件與要求得的值之間角的運(yùn)算,對(duì)于已知條件和未知條件之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換或者是變形,達(dá)到求解的目的。
3 三角函數(shù)問題中常見錯(cuò)誤分析
三角函數(shù)作為數(shù)學(xué)章程中獨(dú)立的一部分,它的特點(diǎn)鮮明,其中需要熟悉掌握的公式比較多,需要靈活的變換公式,往往一道問題會(huì)有多個(gè)答案出現(xiàn)的情況,所以導(dǎo)致了在解題的過程中會(huì)因?yàn)樗季S混亂而陷入誤區(qū),但還是因題而異。
3.1 定義域
三角函數(shù)中的恒等之間變換必須要使三角函數(shù)是有意義的,在區(qū)間內(nèi)的任意角范圍不能改變的情況下,對(duì)于切角和割角的定義域范圍就顯得尤為重要,要仔細(xì)分析研究切割角兩類函數(shù),否則很容易造成運(yùn)算失誤,最終導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。
3.2 單調(diào)性
三角函數(shù)運(yùn)算過程中會(huì)給出一部分已知條件,利用已知條件去求某一項(xiàng),這個(gè)時(shí)候很多人在答題時(shí)經(jīng)常性的忽略單調(diào)性,如果是在某一區(qū)間上的角,這樣就會(huì)使答案增加。
4 三角函數(shù)求值域的類型
在解決三角函數(shù)的時(shí)候,還有可能會(huì)遇到求值域的問題,在解決值域問題的時(shí)候,一定要熟練運(yùn)用三角之間的代換,看到題目的時(shí)候不要急于解答,要先仔細(xì)觀察,分析研究給出的已知條件,大多情況下都是利用數(shù)形結(jié)合的運(yùn)算技巧。
例如: f(x)=asinx+b,這種函數(shù)我們可以把它看作是定義中的某個(gè)函數(shù),那么這種函數(shù)的最值就是[f(x)]max= +b;[f(x)]min= +b
4.1 雙曲線型
例如:f(x),這樣的函數(shù)就可以把它看作是雙曲線函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的圖形,函數(shù)值有可能在雙曲線的一支上,也有可能函數(shù)值分別在雙曲線的兩支上。
4.2 拋物線型
例如:f(x)=asin2x+bsinx+c (a≠0),這樣的函數(shù)可以把它看成是拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)在x (-1,1)時(shí)的函數(shù)值范圍,當(dāng)這個(gè)函數(shù)值在一定區(qū)間下,達(dá)到一個(gè)最值,而另一個(gè)最值,在另一個(gè)區(qū)間,如果函數(shù)是在某個(gè)區(qū)間上單調(diào),那么它的最值應(yīng)該是在兩端點(diǎn)處。
結(jié)論
綜上所述,三角函數(shù)在慣例考試中是經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)學(xué)題目,通常試卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函數(shù)之間的關(guān)系,還有三角函數(shù)的恒等變形的靈活運(yùn)用程度。
三角函數(shù)覆蓋了豐富的數(shù)學(xué)公式,復(fù)雜的運(yùn)算步驟,需要注意的是在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時(shí)候,必須要準(zhǔn)確的牢記三角函數(shù)所有公式,熟練的使用變換方法,根據(jù)不同的問題思維要靈活,把所學(xué)到的公式融會(huì)貫通,這樣就會(huì)順利的解決問題。
參考文獻(xiàn)
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[3]薛金星.中學(xué)數(shù)學(xué)教材全解[M].
常見的三角函數(shù)最值的求法【2】
三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容,是高考的重點(diǎn),也是每年必考的內(nèi)容之一。
而最值是對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,在三角函數(shù)中占有及其重要的位置。
本論文就常見的一些最值不足進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié),以期對(duì)各位能有所幫助計(jì)算機(jī)軟件論文。
1. 形如y=asina+b (或y=acosa+b )型函數(shù),借助于正余弦函數(shù)的有界性求解
例1,求函數(shù)y=3sinx+2 當(dāng)θ-π2 ≤x≤π2時(shí)的最值
解: θ-π2 ≤x≤π2
∴ sinx∈[-1,1]∴y∈[-1,2]
即函數(shù)的最大值為2,最小值為-1
2. 形如y=asinx+bcosx型不足,通常采取引入輔助角,借助于正余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求解
例2,當(dāng) -π2≤x≤π2時(shí),求函數(shù)f(x)=sinx+ 3cosx的最大值最小值
解: 原函數(shù)可化為f(x)=2sin(x+π3 )
θ-π2 ≤x≤π2,∴-π6 ≤x+π3≤5π6
∴ -12≤sin(x+ π3)≤1
∴當(dāng)x= π6時(shí)f(x)取得最大值2,
當(dāng)x= -π6時(shí),f(x)取得最小值-1。
3. 形如y=asina+bccosa+d 型函數(shù),借助于圖像或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為第二種類型求解
例3,求函數(shù)y=sinx-1cosx+2 的值域
解:原式可化為: 2y+1= 1+y2sin(x+Ф) ∴ sin(x+Ф)=2y+1 1+y2∈[-1,1] ∴y∈[-43,1]
另解:本題還可以設(shè)點(diǎn)A(cosx,sinx)B(-2,1),其中點(diǎn)A的軌跡是以(0,0)為圓心,1為半徑的圓,可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B與圓上點(diǎn)連線的斜率不足,避開解含絕對(duì)值的不等式。
4. 同時(shí)含有sinx+cosx與sinxcos x型,此類題型借助于sin2a+cos2a=1將二者聯(lián)系起來,采取換元的策略解題,但一定要應(yīng)注意所換參數(shù)的取值范圍
例4,求函數(shù)y=sin2x+sinx+cosx 的最值
解:令t=sinx+cosx∈[-2,2],則sin2x= t2-1
原式= t2+t-1 t∈[-2,2]
∴y的最大值為1+2 最小值為 -54
5. 形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型,此類題含sinx(或cosx)的二次項(xiàng),可借助二次函數(shù)用配策略求出最值
例5,求函數(shù)y=cos2x-3cosx+2的最小值
解:原式可化為y= (cosx-32)2-14
對(duì)稱軸 cosx=32 不屬于[-1,1]
∴當(dāng)cosx=1時(shí),y取得最小值0
容易出現(xiàn)的變式: y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c 型,此類題型較易轉(zhuǎn)化成上例形式,本論文不再舉例。
6. 形如y=asin2x+bcos2x+csinxcosx型,此類題各項(xiàng)均為sinx與cosx的二次式,可考慮用倍角公式降冪,然后化歸為前面介紹的類型解決。
例6,函數(shù)y=12 cos2x+32sinxcosx+1, 求當(dāng)函數(shù)取得最值時(shí)自變量x的集合
解:原式易化為y =12sin(2x+π6)+54
∴當(dāng) 2x+π6=2kπ+π2即x=kπ+ π6(k∈z)時(shí)y取最大值74
當(dāng)2x+π6=2kπ-π2 即x=kπ- -π3(k∈z)時(shí)y取最小值34
求三角函數(shù)的最值題題型多樣,常見的策略除本論文提到的幾種外,還有判別式法,數(shù)形結(jié)合法等等,近幾年的高考中大都以低中檔題型出現(xiàn)。
只要我們?cè)谧约航忸}時(shí)注意所遇到題目的類型,選對(duì)策略,對(duì)于三角函數(shù)的值域或最值不足,就應(yīng)該不是不足了。
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