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微分幾何教學(xué)嘗試
微分幾何教學(xué)嘗試【1】
摘 要：微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。
文中基于微分幾何教學(xué)實踐，倡導(dǎo)依據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)時間采用不同的教學(xué)方法與模式。
舉例說明信息技術(shù)促進微分幾何教學(xué)理解，嘗試、期盼信息技術(shù)優(yōu)勢與傳統(tǒng)教育模式的深度融合，努力進行敏捷的全要素配合，力求更好地傳遞出正能量。
通過“簡化”微分幾何的知識結(jié)構(gòu)，“美化”微分幾何教學(xué)，加強知識的橫向與縱向類比與對照，以期在為學(xué)生們提供優(yōu)質(zhì)服務(wù)的同時實現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的提高。
關(guān)鍵詞：微分幾何 教學(xué)模式 教學(xué)方法 教學(xué)質(zhì)量
微分幾何是微積分在幾何中的應(yīng)用。
求曲線在一點的切線，相當于求函數(shù)在一點的微分，而要給出閉曲線所圍區(qū)域的面積，就歸結(jié)為求積分，但是物理世界的曲線、曲面是異常復(fù)雜的，反過來又向整個數(shù)學(xué)提出許多重大問題。
作為微分幾何學(xué)入門的本科微分幾何課程，充分展示著數(shù)與形的奇妙結(jié)合，成為學(xué)生了解近代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個有效途徑，是學(xué)習(xí)更高級知識的橋梁， 其在學(xué)生的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)、思維品質(zhì)提高以及后續(xù)高級課程學(xué)習(xí)等方面都具有重要作用。
為了提升微分幾何的教學(xué)質(zhì)量，努力進行全要素配合，力求更好地為學(xué)生服務(wù)。
挖掘、整合微分幾何的知識內(nèi)涵，“簡化”微分幾何的知識結(jié)構(gòu)，多角度、多形式、多層面地梳理微分幾何的知識框架，突出其間的幾何與分析特征，加強知識的橫向與縱向類比與對照;“美化”微分幾何教學(xué)，把相關(guān)知識進行深層加工和梳理，以易于被學(xué)生認識與接受的審美信息形式呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)美、體會美，喚起學(xué)生的靈動感與主動性，激發(fā)學(xué)生健康向上的數(shù)學(xué)審美意識，巧妙降低課程的枯燥程度，提高學(xué)生對微分幾何的認識，以提升微分幾何的教學(xué)效果。
1 教學(xué)過程、教學(xué)方法與模式
教學(xué)過程中力求多種教學(xué)模式、教學(xué)方法的靈活交替或轉(zhuǎn)換。
依據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)時間的不同采用不同的教學(xué)方法與模式。
如，國慶臨放假前的那次課，設(shè)計一堂復(fù)習(xí)課，實現(xiàn)全覆蓋新學(xué)期以來的知識點，稍稍重視一下趣味性，同時采用互動的形式完成課堂內(nèi)的練習(xí)，可以說足以讓愿意投入其中的學(xué)生們在小長假之后對那時課程的主要內(nèi)容絕對留有較深的印象。
又如，活動標架的建立往往需要鋪墊的時間多一點，教師需要做的也要耐心細致點。
但在學(xué)習(xí)基本三棱形之后，伏雷內(nèi)公式的導(dǎo)出完全可以交由學(xué)生來做。
雖然學(xué)生們對向量的數(shù)量積、向量積和混合積等算不上熟練，但只要加以引導(dǎo)，自己推導(dǎo)的效果比教師推理的好很多，而且正好有利于學(xué)生將來更好地運用向量的運算和導(dǎo)出的公式，隨后欣賞起其間的反對稱美來也更具自豪感。
作為愉快教學(xué)方式的擁戴者，我們也進行了相關(guān)嘗試。
一般選擇輕音樂，播放時間則往往是課間或者音樂伴隨圖片展示飄出。
幾何自然是與圖形不分離的。
大自然中攀緣植物的形態(tài)、上海中心大廈的螺旋梯等讓我們學(xué)習(xí)起圓柱螺線來更覺得踏實。
憑著信息社會的優(yōu)越，依靠網(wǎng)絡(luò)，我們不僅能欣賞生物化學(xué)的DNA雙螺線圖形;而且還能全方位感受與DNA結(jié)構(gòu)相似的世界上首座曲線橋，新加坡的螺旋人行天橋，那充溢著未來感的設(shè)計無疑讓觀者感受到幾何的生命力。
微分幾何無時無處不在向人們展示著其巨大的魅力。
生活的世界中，存在著各種各樣的光滑曲線和曲面，以及眾多的賞心悅目的藝術(shù)幾何造型。
我們當然不能忽略它們的作用。
為了更好地理解曲面，結(jié)合線上線下實際，我們展示了一些著名的標志性建筑，其中涉及迪拜大廈、臺北的國際金融中心大廈、上海的中心大廈與金茂大廈、深圳的帝王大廈;馬來西亞首都吉隆坡的雙子塔、在建的武漢CBD雙子塔、正在興建的廈門雙子塔的設(shè)計圖、珠江新城中帶有遺憾的建筑――中軸線上不對稱的廣州“雙子塔”、毀于“911”的紐約雙子星。
對于重要的概念，如曲率，正常教學(xué)之外，我們提及了激光近視手術(shù)。
或許因為班上近視的同學(xué)不少，學(xué)生們對它的興趣遠超出想象，比起講述那是研究靜電場中某些問題的一個有力工具吸引力大多了。
又如，關(guān)于切觸這個概念，我們談起鞋的磨腳問題，聊起了后跟貼等。
原來，微分幾何真的離我們很近很近。
體會“數(shù)”與“形”的巧妙結(jié)合，“理論”與“應(yīng)用”的有機結(jié)合，自然有利于促進學(xué)生們在邏輯思維能力與直覺思維能力的全面發(fā)展。
當然，正常的教學(xué)要求、教學(xué)內(nèi)容也是不能忘的。
簡單而言，教學(xué)內(nèi)容就是如下兩個基本問題。
正問題： 曲線/曲面特征指標內(nèi)蘊量;
反問題： 基本不變量曲線/曲面的設(shè)計與構(gòu)造曲線/曲面基本定理。
問題、知識都是由人發(fā)現(xiàn)的。
相關(guān)科學(xué)家自然也不能被忽略。
歐拉、蒙日、高斯、黎曼、克萊因、嘉當;蘇步青、陳省身、谷超豪、胡和生、李安民……微分幾何無疑有著悠久的研究歷史、曲折的發(fā)展過程。
在教學(xué)中，我們也注重學(xué)科發(fā)展簡史、重要歷史人物和重要歷史進程的簡介。
介紹知識點結(jié)合與之相關(guān)的數(shù)學(xué)家及其成就，以及有關(guān)理論在歷史上的發(fā)展情況，幫助學(xué)生了解國內(nèi)國際微分幾何學(xué)以及微分幾何學(xué)者們的成長與發(fā)展;開闊知識面、增加學(xué)習(xí)的興趣、體會各知識點所傳遞的思想以及它們之間的有機聯(lián)系。
而且，許多數(shù)學(xué)家曲折的人生經(jīng)歷、孜孜以求的科研奮斗精神，無疑會對學(xué)生產(chǎn)生積極的人格影響。
因此，若聯(lián)系新常態(tài)，這必然會促進學(xué)生們在知識與技能、情感態(tài)度與價值觀等方面的和諧發(fā)展。
教學(xué)過程中，我們也力求實現(xiàn)學(xué)科間的橫向溝通與縱向聯(lián)系，實現(xiàn)信息技術(shù)優(yōu)勢與傳統(tǒng)教育的深度融合，努力構(gòu)建以學(xué)生為中心的教學(xué)模式。
因而努力抓常、抓細，力求持久地抓住知識信息間的聯(lián)系。
鼓勵學(xué)生運用Matlab、Maple等軟件進行學(xué)習(xí)，希望能更上一層樓。
參考文獻
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數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的困因及教學(xué)策略【2】
摘 要：微分幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的專業(yè)課程，它對于逐步提高幾何思維和空間想象能力和一定的計算證明能力起到了一定的促進作用，然而學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何存在學(xué)習(xí)困惑。
通過詳細分析數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的困因，提出了一定的改變現(xiàn)狀的教學(xué)策略。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生;微分幾何：困因;教學(xué)策略
1 引言
微分幾何是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)系各專業(yè)重要的專業(yè)課，也是應(yīng)用性很強的一門數(shù)學(xué)課程。
微分幾何課的目的一方面使學(xué)生鍛煉空間想象能力和抽象思維能力，以便為以后進一步學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代幾何學(xué)打好基礎(chǔ)，另一方面培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際和分析問題、解決問題的能力。
然而學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何存在學(xué)習(xí)困惑。
解決學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的困惑有重要的現(xiàn)實意義。
本文通過詳細分析數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的困因，提出了一定的教學(xué)策略，為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何課程提供一點學(xué)習(xí)參考，以及針對教學(xué)提供一些教學(xué)建議。
2 數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的困因
2.1 對微分幾何學(xué)習(xí)存在認識的偏見
微分幾何是微積分原理滲透到空間幾何知識和理論形成的專業(yè)課程，鑒于其幾何的知識背景，課程內(nèi)容會涉及很多不同的概念，這些概念的計算公式也會相應(yīng)呈現(xiàn)。
因此，當學(xué)生學(xué)習(xí)到一定的時候，會認為只要記住公式就能懂得解題的方式。
往往會把中學(xué)時候的初等幾何的學(xué)習(xí)方法融入到微分幾何的學(xué)習(xí)中，片面地認為公式是貫穿整個知識的主要問題，從而不能擺脫以記憶公式為主的學(xué)習(xí)幾何的學(xué)習(xí)方式。
另外，微分幾何知識中存在一些復(fù)雜的空間幾何問題，因為空間幾何更多的穿插著很多不規(guī)則的曲線和曲面，鑒于個人的空間想象能力的局限，就會產(chǎn)生學(xué)習(xí)困惑，以至于傾向于單純的知識和公式的記憶模式。
2.2 習(xí)題訓(xùn)練缺乏主動性和積極性
微分幾何的內(nèi)容中充斥著很多需要計算和解答的問題，這就需要學(xué)生動手進行認真的演算。
然而，由于學(xué)生對學(xué)習(xí)存在認識的偏見，往往有些學(xué)生懶于動手演算，他們認為只要記住公式，計算一般不會有問題。
他們忽略了重要的問題就是，有些沒有發(fā)現(xiàn)的問題往往存在于計算和推演的過程中。
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在某種程度上告訴我們，發(fā)現(xiàn)問題有時候比解決問題更重要。
因此，只有動手認真演算，才能發(fā)現(xiàn)一個計算問題可能會牽扯到哪些相關(guān)學(xué)科的知識，或是存在什么樣的難點和疑問。
而這樣的學(xué)習(xí)方式在課堂教學(xué)和課后的作業(yè)中被淡化了。
學(xué)生對習(xí)題訓(xùn)練更多是缺乏主動性和積極性。
2.3 課堂教學(xué)中提問呈現(xiàn)的思維惰性
在課堂教學(xué)中，教師引導(dǎo)解決一個微分幾何問題。
比如：給出一定的條件，求解動點的軌跡。
學(xué)生往往不知道條件如何進行有效地整合。
這就顯示出所學(xué)知識的模糊，以及思維的惰性。
當遇到困惑時，短時間的思考不能形成有效的求解方式，此時學(xué)生就會凸顯出思維的惰性，即不愿意再過多地去思考條件與所求問題之間的關(guān)聯(lián)。
對于一個問題的思考，往往不知道思考的出發(fā)點是什么，如何去找。
對問題的困惑的認知程度就會逐步形成思考和學(xué)習(xí)的困惑，久而久之就會潛意識地形成思維的惰性，阻礙學(xué)生的思維積極性。
3 教學(xué)策略與方法
3.1 突出傳授數(shù)學(xué)思想和學(xué)習(xí)方法
突出傳授數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。
了解學(xué)生學(xué)習(xí)特點和困難，注重引導(dǎo)和啟發(fā)，讓學(xué)生盡早地更多地掌握數(shù)學(xué)的思想和方法。
在課堂教學(xué)中盡可能把握微分幾何各種內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示課程學(xué)習(xí)的主要問題。
把數(shù)學(xué)中的各種數(shù)學(xué)思想方法融合到教學(xué)方式和教訓(xùn)內(nèi)容中，激發(fā)學(xué)生的空間想象能力和對所學(xué)知識的領(lǐng)悟能力。
微分幾何突出的是應(yīng)用微積分的原理去解決空間幾何問題的一種方式，因此，在教學(xué)中要不斷回顧微積分所學(xué)知識的一般原理，引導(dǎo)學(xué)生整合有效的資源，循序漸進地學(xué)習(xí)微分幾何的相關(guān)知識，提高個人的學(xué)習(xí)能力和思維能力。
3.2 加強有效的課堂教學(xué)互動
通過有效地互動的課堂教學(xué)，刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
課堂上對于微分幾何知識和問題的有效探討，可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，比如：針對空間基本三棱形得到的密切平面、法平面和從切平面，在求解各自方程時候，不僅要講解平面的平面的構(gòu)造，更要引導(dǎo)學(xué)生理解構(gòu)造的方式，即如何構(gòu)造，為什么要這樣構(gòu)造。
只有理解這些問題，然后進行方程的推導(dǎo)，得到同一平面的不同的求解方程，促進學(xué)生理解各類方程的推導(dǎo)原理，而不是單純記憶相應(yīng)的公式。
一方面，學(xué)生在互動中理解了課堂內(nèi)容和求解問題的方法，另一方面調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何的積極性，提高了學(xué)生的理解能力。
3.3 注重學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)和啟發(fā)
在教學(xué)中要始終抓住基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧，重視課堂互動并引導(dǎo)學(xué)生分析問題，注意培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力。
結(jié)合以前所學(xué)的數(shù)學(xué)分析、解析幾何、復(fù)變函數(shù)以及中學(xué)所學(xué)知識(如平面幾何、立體幾何、平面解析幾何)，引導(dǎo)學(xué)生比較與區(qū)別，促使學(xué)生將抽象的微分幾何知識滲透到其它數(shù)學(xué)知識中，�畝�起到啟發(fā)學(xué)生深入思考的效果。
微分幾何主要有曲線論和曲面論兩大內(nèi)容，在教學(xué)中，要不斷引導(dǎo)學(xué)生注重在學(xué)習(xí)微分幾何知識的過程中，盡可能理解相關(guān)概念定義的來源及其構(gòu)造。
面對眾多的知識點和方程、定理和公式，只有理解相關(guān)原理，才能有效把握這些問題的實質(zhì)，從而促進真正有效的記憶。
參考文獻
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教學(xué)在常微分方程教學(xué)中的新嘗試【3】
摘 要： 本文對通過興趣小組參與課堂的各個環(huán)節(jié)進行的討論式教學(xué)在常微分方程教學(xué)中的運用，進行了探索和新的嘗試。
關(guān)鍵詞：討論式教學(xué) 興趣小組 教學(xué)模式
近幾十年來，動力系統(tǒng)及非線性科學(xué)的迅猛發(fā)展，通過數(shù)學(xué)建模的方式，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到社會實踐中，極大地推動了支撐國家命脈的各個行業(yè)――力學(xué)、物理、電力工程、機械工程、通訊工程、天文學(xué)、航空航天技術(shù)等――的發(fā)展。
常微分方程作為對動力系統(tǒng)及非線性學(xué)科起到奠基性作用的基礎(chǔ)學(xué)科，在這一理論指導(dǎo)實踐的過程中，起到了極為重要的基礎(chǔ)性作用。
關(guān)于常微分方程這門課程，社會對我們提出了新的應(yīng)用方面的要求，就促使我們不能僅僅停留在對理論的講授上，更加不能讓學(xué)生刻板地接受知識，而是要通過教學(xué)模式的改革，提高學(xué)生的自學(xué)能力、創(chuàng)新能力及團隊協(xié)作等能力的培養(yǎng)。[1]
一、傳統(tǒng)的教學(xué)模式
首先，從教師的角度來講，傳統(tǒng)的教學(xué)模式――備課，授課，課后反思，課后輔導(dǎo);從學(xué)生的角度來講，傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)模式――預(yù)習(xí)，聽課，復(fù)習(xí)鞏固，作業(yè)。
這些環(huán)節(jié)中的關(guān)鍵是授課和聽課，傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，授課者在作為個體單獨地講，聽課者作為個體在單獨地聽，互動多為個別提問及眼神的交流。
講課的老師辛苦，聽課的學(xué)生感覺到的卻可能是枯燥乏味，課堂效果可想而知。
其次，傳統(tǒng)的教學(xué)手段――粉筆加黑板。
對于數(shù)學(xué)專業(yè)的課程來說，板書的效果是非常好的，因為在板書的過程中，事實上融入了思考的元素。
但是，板書的確浪費了大量的時間。
所以，適當?shù)卣_地適用多媒體，可以既節(jié)省時間，又不破壞板書在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中所起到的不可磨滅的良好作用。
1.討論式教學(xué)模式
2.討論式教學(xué)
從教師的角度來講，討論式教學(xué)模式――備課(增加興趣小組課堂及課后討論題目的確定)，課講(正式開課前幾分鐘，由興趣小組成員或其他感興趣的同學(xué)講題，教師給予相應(yīng)指導(dǎo))，授課(增加師生討論、生生討論環(huán)節(jié))，興趣小組討論題的布置，課后反思(增加對課堂討論效果、討論時間、討論方式等方面的反思)，課后輔導(dǎo)(增加對興趣小組討論題的指點、提示及指導(dǎo))。
從學(xué)生角度來講，討論式教學(xué)模式――興趣小組討論題目的資料查閱及討論，預(yù)習(xí)，興趣小組成員課前講題(其他同學(xué)可以參與討論，時間控制在十分鐘之內(nèi))，聽課(改單獨聽課的習(xí)慣為課堂討論)，復(fù)習(xí)鞏固，作業(yè)，興趣小組題目的討論。
2.1興趣小組的建立
作為普通本科院校的數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，同時由于招生時調(diào)劑因素進入數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生大有人在，所以很難保證所有學(xué)生都對數(shù)學(xué)興趣濃厚，這就對從事數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)的老師，當然包括常微分方程老師提出了更高的要求――如何可以使對數(shù)學(xué)興趣不夠濃厚，數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)又不是很好的同學(xué)學(xué)好常微分方程。
對此，我們在建立興趣小組方面，做了一些新的嘗試，效果還是明顯的。
興趣小組，就是將對數(shù)學(xué)感興趣以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較扎實的同學(xué)，聚在一起，分成小組的分組方式。
通過興趣小組成員更多地參與到課堂及課后討論中，帶動更多的同學(xué)參與到討論中來，從而提高教學(xué)效果。
從某種意義上講，討論式教學(xué)的核心就是興趣小組成員參與并帶動教學(xué)。[2]
2.2討論式教學(xué)模式下，各個環(huán)節(jié)的正常運行
2.3課前十分鐘
對上次課老師所留興趣小組討論題目進行講解，同時接受同學(xué)們的提問。
作為教師，一方面要認真聽講，以免錯過學(xué)生講錯并及時訂正，另一方面，要調(diào)動大家的積極性，既調(diào)動大家積極參與講解，又調(diào)動大家積極參與思考和討論。
2.3.1課堂教學(xué)環(huán)節(jié)
課堂教學(xué)中，對于新的概念及理論，講解的過程中增加互動，調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)。
每一小段落，都給學(xué)生留幾分鐘的時間，相互討論總結(jié)剛才所講內(nèi)容的思路脈絡(luò)，及時發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，盡可能早并徹底的消化課堂內(nèi)容。
為了提高這種討論的效果，要將興趣小組成員分散到課堂的各個角落。
2.3.2 課后習(xí)題及作業(yè)環(huán)節(jié)
在課后習(xí)題及作業(yè)環(huán)節(jié)，興趣小組同學(xué)通過積極思考、相互討論以及習(xí)題講解，可以幫助知識掌握不夠扎實的同學(xué)以學(xué)習(xí)方法及思路的指導(dǎo)，在很大程度上彌補了老師不能在課下陪伴的遺憾。
2.3.3課后反思環(huán)節(jié)
在課后反思中，要對興趣小組的運行及其效果進行相應(yīng)反思，要不斷調(diào)整興趣小組討論題目的深淺程度、上課留有同學(xué)討論的時間長短等，以求取得更好的教學(xué)效果。
2.4 激發(fā)興趣小組成員積極性的措施
興趣小組成員在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中起到了至關(guān)重要的作用，為了激發(fā)他們的積極性，并使興趣小組機制得到長期有效的進行，可以從平時提問、平時成績、能力培養(yǎng)等方面加以側(cè)重。
我們按照以上的思路，在普通本科數(shù)學(xué)類學(xué)生的常微分方程課程的教學(xué)中進行了教學(xué)模式改革方面的新嘗試，取得了較好的教學(xué)效果，但也有不盡人意的地方，比如興趣小組討論題目深度把握不夠恰當，課堂討論時間與正常教學(xué)時間的平衡還需要不斷摸索。
參考文獻
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