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偏微分方程課堂實踐教學應用
偏微分方程課堂實踐教學應用
摘要：加強理論與實踐的融合，特別是在偏微分方程數(shù)值解課程教學中，通過引入實踐教學，突出高等數(shù)學的應用性，使之能夠與具體的學科生產(chǎn)實際相聯(lián)系，既有助于提升學生對偏微分方程的理解，還能夠從科研、工程應用前沿中來增強學習興趣，提升高等數(shù)學在實踐生活中的應用能力。
關鍵詞：偏微分方程;實踐性教學;應用探討
數(shù)學知識是豐富的、數(shù)學思想是多彩的，數(shù)學中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，數(shù)學思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶，是數(shù)學解題的指導思想。
而對于數(shù)學概念的實踐性教學，將數(shù)學知識與現(xiàn)實世界建立關聯(lián)，是推進大學生數(shù)學應用實踐的有效途徑。
數(shù)學作為自然科學，其理論的產(chǎn)生是基于數(shù)學自身理論系統(tǒng)的發(fā)展。
如數(shù)學建模思想的應用實踐，將數(shù)學理論知識與具體的行業(yè)科學建立緊密聯(lián)系，突出數(shù)學建模在學科專業(yè)性和應用廣泛性中的作用，以解決現(xiàn)實問題。
偏微分方程是高等數(shù)學中的重要內(nèi)容，在課程教學中具有較強的實際應用前景。
現(xiàn)代自然科學領域中的很多工程實踐問題，其解決方法都由數(shù)學建模來進行描述，而偏微分方程的求解方法則具有廣泛的應用。
本文則是通過對偏微分方程的一些闡述來講解偏微分方程在課堂實踐中的教學應用.
一、高等數(shù)學實踐性教學的現(xiàn)狀
強調(diào)理論與實踐的滲透一直是高等數(shù)學課堂實踐性教學的主要方向，由于教學環(huán)境的局限，對于課程實踐性內(nèi)容的梳理多存在制約，尤其是理論講解過多，而實踐教學相對不足，導致學生對高等數(shù)學的論證感到繁瑣而枯燥。
偏微分方程數(shù)值解由于涉及較多的公式推導，學生學習積極性不夠，而對于理工類學科專業(yè)，偏微分方程在實踐應用中具有普遍性。
因此，要從實踐性教學環(huán)節(jié)入手，積極探索該課程與生產(chǎn)實踐的關聯(lián)度，加強對偏微分方程與實際應用的銜接，特別是實驗教學環(huán)節(jié)的明確，要從學科前沿發(fā)展上，融入實際案例和問題，增強學生的學習興趣，引導學生從數(shù)學推導中提升計算能力，增強科學思維能力，解決實際問題能力。
二、實踐性教學的必要性研究
從國家對高等教育改革工作的發(fā)展綱要來看，堅持教育與現(xiàn)代社會生產(chǎn)的聯(lián)系，特別是從人才培養(yǎng)模式上，著力從教學方法上來深化改革，強調(diào)知行合一，因地制宜的調(diào)整和優(yōu)化課程實踐教學環(huán)節(jié)，突出學科理論學習與實踐課程的融合，增強學生的實踐技能。
理工類專業(yè)群在高等數(shù)學教學目標上，要結(jié)合自身專業(yè)設置實際，從數(shù)學基礎知識與學科專業(yè)方向上，既要關注數(shù)學基礎知識的講授，還要從學生數(shù)學思維、計算思維、計算方法等方面，強調(diào)數(shù)學知識與工程應用的聯(lián)系，特別是實踐性教學環(huán)節(jié)，要注重對各種數(shù)值方法的求解，訓練學生能夠從具體方法求解中來培養(yǎng)動手能力。
偏微分方程具有較強的理論性，對于理論知識的講授，特別是穩(wěn)定性分析、收斂性分析、誤差估值分析等，涉及較多的公式推導，學生學習積極性差，通過對實踐性教學環(huán)節(jié)的設置，使之具有形象性、直觀性和動態(tài)性，提升學生解決數(shù)學實際問題的能力。
三、偏微分方程與實踐性教學的應用探討
1.注重偏微分方程與實際應用的銜接
從課程內(nèi)容來看，偏微分方程在與生產(chǎn)實踐聯(lián)系上具有廣泛性，但對于具體的數(shù)值求解方法來說，因介紹較少，而學生對知識背景認知不夠。
如對于線性常系數(shù)偏微分方程，在探討其穩(wěn)定性方面，由于，利用差商法來替換微商法，其中心格式的穩(wěn)定性仍然不夠。
但可以將之改寫為中心差分格式，由此來得到Lax-Friedrichs穩(wěn)定性數(shù)值方程;從中可知，利用，可以實現(xiàn)偏微分方程的數(shù)值求解穩(wěn)定性，同時對于雙曲型方程也具有較高的計算準確性，便于將偏微分方程數(shù)學理論與生產(chǎn)實踐相聯(lián)系。
同樣道理，在共軛方程求解中，對于，在實際生產(chǎn)中應用較廣，作為二階共軛方程，將表示為溫度函數(shù)，表示為熱傳導系數(shù)，可以對熱傳導方程進行改寫。
從上述推導變換中，盡管數(shù)學公式本身沒有變化，但與物理問題相融合后，其意義更加廣泛。
我們知道，從熱傳導過程來看，對于傳導系數(shù)來說本身具有連續(xù)性，利用函數(shù)來表示更加準確，從熱傳導守恒性來看，以離散值求解方法來計算結(jié)果，與實際問題存在不符，但通過進行離散處理，可以獲得。
從中可知，學生在認識偏微分方程的求解疑難時，借助于對實際生產(chǎn)的背景介紹，從中來理解數(shù)學理論知識在實踐中的應用，增強學生的學習熱情，也提升了學生運用數(shù)學方法解決實際問題的能力。
2.強調(diào)實驗教學的課時比重
在高等數(shù)學學習中，由于計算機的應用，可以利用偏微分方程來構(gòu)建數(shù)學模型，增強偏微分方程在生產(chǎn)實踐中的應用。
從數(shù)學理論來看，偏微分方程本身實踐性強，而在實驗課程教學中的課時比例相對不足，特別是學生上機學習較少，影響學生對偏微分方程數(shù)值求解方法的掌握。
以信息技術專業(yè)為例，在偏微分方程數(shù)值計算訓練上，可以從Fortran95數(shù)值教學平臺上來開放應用程序，結(jié)合不同的邊界條件和初值，讓學生從具體算法上來進行上機調(diào)試，分析存在的問題，并從實驗報告分析中來強調(diào)知識的實踐性。
借助于數(shù)學軟件教學，其目標在于：一是提升數(shù)學理論知識的可視性，特別是對于偏微分方程自身公式的推導來說，因繁瑣而影響學生的學習熱情，而直觀的數(shù)值計算軟件的應用，提升計算結(jié)果的直觀性。
二是從偏微分方程數(shù)值求解方法的多樣性來看，既可以從差分方法中來選擇不同的邊界條件和初值，還可以從不同的初值和邊界條件中來選擇差分方法，不同的運算結(jié)果具有相應的規(guī)律性。
如對于擴散方程，與之相關的邊界條件主要有、、。
對于該式中的不同變量的取值問題，可以從顯格式、隱格式及其他格式上來進行運算，比較其結(jié)果，學生可以從中來探討和分析偏微分擴散方程的收斂性、穩(wěn)定性，以及截斷誤差變化;同時，可以根據(jù)調(diào)整不同變量的范圍，如步長等，來對比差分格式中的誤差控制;對于Richardson格式，雖精度高但實用性不強，不同格式的穩(wěn)定性分析是其應用的基本前提。
三是從學生動手實踐中來增強解決實際問題的能力。
由于偏微分方程在數(shù)值求解上面臨較多的實際問題，特別是在實踐性環(huán)節(jié)設置中，針對常見的步長問題、網(wǎng)格點問題，以及不同求解方法的誤差等問題，需要在教師的指導下來進行綜合對比和分析，提升數(shù)學模型對生產(chǎn)實踐的影響。
另外，從不同方法的求解合理性分析上，利用檢驗方法來促進學生數(shù)學思維的養(yǎng)成。
3.強調(diào)數(shù)學理論與科研前沿問題的融合
從偏微分方程數(shù)值求解教學內(nèi)容來看，僅僅介紹相關的數(shù)值求解方法是不夠的，還要從偏微分方程自身的理論價值，來闡釋與生產(chǎn)實踐的融合，特別是現(xiàn)代技術背景下，對于數(shù)學理論、數(shù)學思想、數(shù)學方法的研究，需要從科研前沿探討中，比較不同解決方法的差異性和適用性。
對于生產(chǎn)實踐中的不同問題，教師在課程知識選擇及具體方法的探討中，要適當滲透前沿課題及主流方法，圍繞學生學科實際，收集相關科研素材和資料，讓學生能夠從中體驗到數(shù)學知識在解決實際問題中的價值，增強學生的科研精神、數(shù)學思維。
教師在構(gòu)建實踐性教學課堂時，可以從數(shù)學模型的抽象與分析中，介入數(shù)學軟件來構(gòu)建實際問題，通過對偏微分方程不同求解方法的對比分析，來探討其解決實際問題的能力。
如對于有限元法的講解，與實際生產(chǎn)相聯(lián)系，來分析該方法的優(yōu)勢，并滲透Matlab軟件，來構(gòu)建具體的應用環(huán)境，增強學生對數(shù)學理論與生產(chǎn)實際的融合。
四、結(jié)語
與傳統(tǒng)大學數(shù)學教育相比，利用實踐性課堂教學不僅有助于激發(fā)大學生對數(shù)學的學習熱情，還能從數(shù)學知識、數(shù)學概念、數(shù)學定義、數(shù)學邏輯推演及計算中，增強數(shù)學應用能力，開拓大學生的數(shù)學思維。
正如李大潛院士所講“數(shù)學思想有助于從追求數(shù)學體系的完善上來達到數(shù)學邏輯與數(shù)學應用的嚴謹性，從而將數(shù)學構(gòu)建成新的應用空間”。
通過對偏微分方程數(shù)值解的實踐性教學環(huán)節(jié)的探析，來加強理論與實踐的融合滲透，從不同行業(yè)來發(fā)揮數(shù)學知識的應用價值，讓學生能夠從中啟發(fā)創(chuàng)新精神。
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