數(shù)列求通項的方法總結(jié)

　　按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，而將數(shù)列{an} 的第n項用一個具體式子（含有參數(shù)n）表示出來，稱作該數(shù)列的通項公式。為大家總結(jié)數(shù)列求通項的方法，一起來看看吧！

　　一、累差法

　　遞推式為：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)

　　思路：:令n=1,2,…,n-1可得

　　a2-a1=f(1)

　　a3-a2=f(2)

　　a4-a3=f(3)

　　……

　　an-an-1=f(n-1)

　　將這個式子累加起來可得

　　an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

　　∵f(n)可求和

　　∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)

　　當(dāng)然我們還要驗證當(dāng)n=1時,a1是否滿足上式

　　例1、已知數(shù)列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an

　　解： 令n=1,2,…,n-1可得

　　a2-a1=2

　　a3-a2=22

　　a4-a3=23

　　……

　　an-an-1=2n-1

　　將這個式子累加起來可得

　　an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

　　∵f(n)可求和

　　∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

　　當(dāng)n=1時,a1適合上式

　　故an=2n-1

　　二、累商法

　　遞推式為：an+1=f(n)an（f(n)要可求積）

　　思路：令n=1,2, …,n-1可得

　　a2/a1=f(1)

　　a3/a2=f(2)

　　a4/a3=f(3)

　　……

　　an/an-1=f(n-1)

　　將這個式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)

　　∵f(n)可求積

　　∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)

　　當(dāng)然我們還要驗證當(dāng)n=1時，a1是否適合上式

　　例2、在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an

　　解： 令n=1,2, …,n-1可得

　　a2/a1=f(1)

　　a3/a2=f(2)

　　a4/a3=f(3)

　　……

　　an/an-1=f(n-1)

　　將這個式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)

　　即an=2n

　　當(dāng)n=1時，an也適合上式

　　∴an=2n

　　三,構(gòu)造法

　　1、遞推關(guān)系式為an+1=pan+q (p,q為常數(shù))

　　思路：設(shè)遞推式可化為an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)

　　故可將遞推式化為an+1+x=p(an+x)

　　構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an+q/(p-1)

　　bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}為等比數(shù)列.

　　故可求出bn=f(n)再將bn=an+q/(p-1)代入即可得an

　　例3、(06重慶)數(shù)列{an}中,對于n>1(nN)有an=2an-1+3,求an

　　解：設(shè)遞推式可化為an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3

　　故可將遞推式化為an+3=2(an-1+3)

　　構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an+3

　　bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}為等比數(shù)列且公比為3

　　bn=bn-1·3,bn=an+3

　　bn=4×3n-1

　　an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-1

　　2、遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數(shù))

　　思路：在an+1=pan+qn兩邊同時除以qn+1得

　　an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q

　　構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q

　　故可利用上類型的解法得到bn=f(n)

　　再將代入上式即可得an

　　例4、數(shù)列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an

　　解： 在an+1=(1/3)an+(1/2)n兩邊同時除以(1/2)n+1得

　　2n+1an+1=(2/3)×2nan+1

　　構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1

　　故可利用上類型解法解得bn=3-2×(2/3)n

　　2nan=3-2×(2/3)n

　　an=3×(1/2)n-2×(1/3)n

　　3、遞推式為：an+2=pan+1+qan（p,q為常數(shù)）

　　思路：設(shè)an+2=pan+1+qan變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)

　　也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=p,xy= -q

　　解得x,y，于是｛bn｝就是公比為y的等比數(shù)列（其中bn=an+1-xan）

　　這樣就轉(zhuǎn)化為前面講過的類型了．

　　例5、已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an

　　解：設(shè)an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)

　　也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=2/3,xy= -1/3

　　可取x=1,y= -1/3

　　構(gòu)造數(shù)列｛bn｝，bn=an+1-an

　　故數(shù)列｛bn｝是公比為-1/3的等比數(shù)列

　　即bn=b1(-1/3)n-1

　　b1=a2-a1=2-1=1

　　bn=(-1/3)n-1

　　an+1-an=(-1/3)n-1

　　故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](nN*)

　　例題

　　1、利用sn和n的關(guān)系求an

　　思路：當(dāng)n=1時，an=sn

　　當(dāng)n≥2 時, an=sn-sn-1

　　例6、已知數(shù)列前項和s=n2+1,求{an}的通項公式.

　　解：當(dāng)n=1時，an=sn＝2

　　當(dāng)n≥2 時, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1

　　而n=1時，a1=2不適合上式

　　∴當(dāng)n=1時，an=2

　　當(dāng)n≥2 時, an=2n-1

　　2、利用sn和an的關(guān)系求an

　　思路：利用an=sn-sn-1可以得到遞推關(guān)系式，這樣我們就可以利用前面講過的方法求解

　　例７、在數(shù)列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an

　　解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)

　　an=2an-1

　　∴｛an｝是以２為公比的等比數(shù)列

　　∴an=a1·2n-1= -3×2n-1

　　2、用不完全歸納法猜想,用數(shù)學(xué)歸納法證明.

　　思路:由已知條件先求出數(shù)列前幾項，由此歸納猜想出an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明

　　例8、(2002全國高考)已知數(shù)列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an

　　解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6

　　由此猜想an=n+1，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

　　當(dāng)n=1時，左邊＝2，右邊＝2，左邊＝右邊

　　即當(dāng)n=1時命題成立

　　假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即ak=k+1

　　則 ak+1=a2k-kak+1

　　=(k+1)2-k(k+1)+1

　　=k2+2k+1-k2-2k+1

　　=k+2

　　=(k+1)+1

　　∴當(dāng)n=k+1時，命題也成立．

　　綜合(1),(2),對于任意正整數(shù)有an=n+1成立

　　即an=n+1

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