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數(shù)列求和的基本方法和技巧
在我們的學(xué)習(xí)時(shí)代，很多人都經(jīng)常追著老師們要知識(shí)點(diǎn)吧，知識(shí)點(diǎn)也可以通俗的理解為重要的內(nèi)容。掌握知識(shí)點(diǎn)是我們提高成績(jī)的關(guān)鍵！以下是小編整理的數(shù)列求和的基本方法和技巧，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
一、公式法
如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。注意等比數(shù)列公示q的取值要分q=1和q≠1。
二、倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列的首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的。
三、錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的。
四、裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，前后剩余項(xiàng)是對(duì)稱出現(xiàn)的。
五、分組求和法
若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和然后相加減。
六、并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，若可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和法。形如 類型，可采用兩項(xiàng)合并求解。
七、數(shù)列知識(shí)整合
1、在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題。
2、在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。
3、培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法。
拓展：求數(shù)列極限的方法總結(jié)
極限無(wú)外乎出這三個(gè)題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。 熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵， 極限的運(yùn)算法則必須遵從，兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算，如果有一個(gè)不存在就無(wú)法進(jìn)行運(yùn)算。以下我們就極限的內(nèi)容簡(jiǎn)單總結(jié)下。
極限的計(jì)算常用方法：四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、兩個(gè)重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。
四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、兩個(gè)重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點(diǎn)，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進(jìn)入強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達(dá)到熟練的程度;在強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段考生會(huì)遇到一些較為復(fù)雜的極限計(jì)算，此時(shí)運(yùn)用泰勒公式代替洛必達(dá)法則來(lái)求極限會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算，熟記一些常見(jiàn)的麥克勞林公式往往可以達(dá)到事半功倍之效; 夾逼定理、利用定積分定義常常用來(lái)計(jì)算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進(jìn)行計(jì)算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進(jìn)行計(jì)算;單調(diào)有界收斂定理可用來(lái)證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。
與極限計(jì)算相關(guān)知識(shí)點(diǎn)包括：1、連續(xù)、間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類：判斷間斷點(diǎn)類型的基礎(chǔ)是求函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限；2、可導(dǎo)和可微，分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或可導(dǎo)性，一律通過(guò)導(dǎo)數(shù)定義直接計(jì)算或檢驗(yàn)存在的定義是極限 存在；3、漸近線，（垂直、水平或斜漸近線）；4、多元函數(shù)積分學(xué)，二重極限的討論計(jì)算難度較大，�？疾樽C明極限不存在。
下面我們重點(diǎn)講一下數(shù)列極限的典型方法。
重要題型及點(diǎn)撥
1、求數(shù)列極限
求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式。
★抽象數(shù)列求極限
這類題一般以選擇題的形式出現(xiàn)， 因此可以通過(guò)舉反例來(lái)排除。 此外，也可以按照定義、基本性質(zhì)及運(yùn)算法則直接驗(yàn)證。
★求具體數(shù)列的極限，可以參考以下幾種方法：
a、利用單調(diào)有界必收斂準(zhǔn)則求數(shù)列極限。
首先，用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性，進(jìn)而確定極限存在性；其次，通過(guò)遞推關(guān)系中取極限，解方程， 從而得到數(shù)列的極限值。
b、利用函數(shù)極限求數(shù)列極限
如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例，形如，則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限，此時(shí)再用洛必達(dá)法則求解。
★求項(xiàng)和或項(xiàng)積數(shù)列的極限，主要有以下幾種方法：
a、利用特殊級(jí)數(shù)求和法
如果所求的項(xiàng)和式極限中通項(xiàng)可以通過(guò)錯(cuò)位相消或可以轉(zhuǎn)化為極限已知的一些形式，那么通過(guò)整理可以直接得出極限結(jié)果。
b、利用冪級(jí)數(shù)求和法
若可以找到這個(gè)級(jí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)，則可以利用冪級(jí)數(shù)函數(shù)的方法把它所對(duì)應(yīng)的和函數(shù)求出，再根據(jù)這個(gè)極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值。
c、利用定積分定義求極限
若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子，剩余的項(xiàng)可用一個(gè)通項(xiàng)表示， 則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限。
d、利用夾逼定理求極限
若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子，剩余的項(xiàng)不能用一個(gè)通項(xiàng)表示，但是其余項(xiàng)是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。
e、求項(xiàng)數(shù)列的積的極限，一般先取對(duì)數(shù)化為項(xiàng)和的形式，然后利用求解項(xiàng)和數(shù)列極限的方法進(jìn)行計(jì)算。
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