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求數(shù)列通項(xiàng)的方法總結(jié)
求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個(gè)具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，分享了求數(shù)列通項(xiàng)的方法，一起來看看吧！
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如an+1=an+f（n）的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（f（n）可求前n項(xiàng)和）.
例1.已知數(shù)列an滿足an+1=an+2n+1，a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1則
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1
=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1
=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1
=2+（n-1）+1
=（n-1）（n+1）+1
=n2
所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2。
例2：在數(shù)列{an}中，已知an+1= ，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.
備注：取倒數(shù)之后變成逐差法。
解：兩邊取倒數(shù)遞推式化為：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，
將以上n-1個(gè)式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==
二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（數(shù)列g(shù)（n）可求前n項(xiàng)積）.
例3.已知數(shù)列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
解：當(dāng)n？叟2時(shí)，=，=，=，…=將這n-1個(gè)式子累乘，得到=，從而an=×=，當(dāng)n=1時(shí)，==a1，所以an= 。
注：在運(yùn)用累乘法時(shí)，還是要特別注意項(xiàng)數(shù)，計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).
三、公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。
例4.已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=2n+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.
解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2+1=3，當(dāng)n？叟2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（2n+1）-（2n-1+1）=2n-1.
而n=1時(shí)，21-1=1≠a1，∴an3（n=1）2n-1（n？叟2）。
四、構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）： ①將遞推公式an+1=qan+d（q，d為常數(shù)，q≠0，d≠0）通過（an+1+x）=q（an+x）與原遞推公式恒等變成an+1+=q（an+）的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.
例5.在數(shù)列an中，a1=1，當(dāng)n？叟2時(shí)，有an=3an-1+2，求an的通項(xiàng)公式。
解：設(shè)an+m=3（an-1+m），即有an=3an-1+2m，對(duì)比an=3an-1+2，得m=1，于是得an+1=3（an-1+1），數(shù)列an+1是以a1+1=2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有an=23n-1-1。
類似題型練習(xí)：已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.
注：此種類型an+1=pan+g（n）（p為常數(shù)，且p≠0，p≠1）與上式的區(qū)別，其解法如下：將等式兩邊同除以pn+1，則=+，令bn=，則bn+1=bn=，這樣此種數(shù)列求通項(xiàng)的問題可以轉(zhuǎn)化為逐差法的問題，當(dāng)然這種數(shù)列的通項(xiàng)公式也常用待定系數(shù)法解決，關(guān)鍵要根據(jù)g（n）選擇適當(dāng)?shù)男问健?/p>
如：an的首項(xiàng)a1=1，且an+1=4an+2n，求an
五、數(shù)學(xué)歸納法（用不完全歸納法猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明）
例6.設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1，an+1an-2n2（an+1-an）+1=0求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.
解：由an+1an-2n2（an+1-an）+1=0得an+1=，可算得a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n-1，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明（以下略）
六、待定系數(shù)法
例7.已知數(shù)列an滿足an+1=2an+3×5n，a1=6，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。
解：設(shè)an+1+x×5n+1=2（an+x×5n） ④
將an+1=2an+3×5n代入④式，得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n，等式兩邊消去2an，得35n+x5n+1=2x5n，兩邊除以5n，得3+5x=2x，則x=-1，代入④式得an+1-5n+1=2（an-5n） ⑤
由a1-51=6-5=1≠0及⑤式得an-5n≠0，則=2，則數(shù)列{an-5n}是以a1-51=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。
評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an+1=2an+3×5n轉(zhuǎn)化為an-1-5n+1=2（an-5n），從而可知數(shù)列{an-5n}是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{an-5n}的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
七、特征根法
形如遞推公式為an+2=pan+1+qan（其中p，q均為常數(shù)）。對(duì)于由遞推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β，給出的數(shù)列an，方程x2-px-q=0，叫做數(shù)列an的特征方程。
若x1，x2是特征方程的兩個(gè)根， 當(dāng)x1≠x2時(shí)，數(shù)列an的通項(xiàng)為an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β決定（即把a(bǔ)1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=Axn-11+Bxn-12，得到關(guān)于A、B的方程組）；
當(dāng)x1=x2時(shí)，數(shù)列an的通項(xiàng)為an=（A+Bn）xn-11，其中A，B由1=α，a2=β決定（即把a(bǔ)1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=（A+Bn）xn-11，得到關(guān)于A、B的方程組）。
例8.數(shù)列an：3an+2-5an+1+2an=0（n？叟0，n∈N），a1=a，a2=b求an
解：特征方程是3x2-5x+2=0，∵x1=1，x2= ，∴an=Axn-11+Bxn-12=A+B（）n-1。
又由a1=a，a2=b，于是a=A+Bb=A+B？圯A=3b-2aB=3（a-b）
故an=3b-2a+3（a-b）（）n-1
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