數(shù)學(xué)論文范文
無論是在學(xué)校還是在社會(huì)中，大家一定都接觸過論文吧，通過論文寫作可以培養(yǎng)我們的科學(xué)研究能力。你知道論文怎樣寫才規(guī)范嗎？下面是小編為大家收集的數(shù)學(xué)論文，歡迎閱讀與收藏。
數(shù)學(xué)有效教學(xué)的重要指標(biāo)，是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能否從一個(gè)問題遷移到另一個(gè)問題，從一個(gè)情境遷移到另一個(gè)情境，從學(xué)校課堂遷移到社會(huì)生活中。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移存在密切關(guān)系，是直接影響人的能力形成的重要因素。
遷移通常理解為，把在一個(gè)情境中學(xué)到的東西遷移到新情境中的能力。
研究表明，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與遷移能力并不是正相關(guān)的。
有些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)導(dǎo)致強(qiáng)記憶弱遷移和強(qiáng)記憶負(fù)遷移，而另一些卻能誘發(fā)強(qiáng)記憶強(qiáng)遷移和強(qiáng)記憶正遷移[1]。
早期學(xué)習(xí)遷移研究理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)條件和遷移條件之間的相似性，取決于兩者基本要素的匹配程度，而基本要素被界定為具體事實(shí)和技能。
對(duì)任務(wù)間共同要素的強(qiáng)調(diào)，意味著對(duì)學(xué)習(xí)者個(gè)性的忽視，比如對(duì)包括關(guān)注的時(shí)機(jī)、相關(guān)原理的外推、問題解決或創(chuàng)造力以及動(dòng)機(jī)等這些個(gè)性的忽視，而把學(xué)習(xí)的重點(diǎn)放在練習(xí)和訓(xùn)練上。
本文探究對(duì)數(shù)學(xué)教育具有重要意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和遷移的關(guān)鍵特征。
一、促進(jìn)初始學(xué)習(xí)是成功遷移的首要因素
新的學(xué)習(xí)理論研究表明，影響成功遷移的第一個(gè)因素可能是最初對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度[1]。
那么如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的初始學(xué)習(xí)，來促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功遷移呢?
1.注重理解而不是記憶
初始學(xué)習(xí)不達(dá)到一定理解水平，遷移是不會(huì)發(fā)生的。
這是顯而易見但又經(jīng)常容易被忽略的事實(shí)。
剛學(xué)完某個(gè)新知識(shí)就急于去做難題，就屬于這個(gè)范疇。
這兩個(gè)結(jié)論對(duì)教學(xué)而言非常重要，這正是我國(guó)中小學(xué)普遍存在的問題，常常新授課剛結(jié)束，就要求學(xué)生解難題，不僅課后作業(yè)是難題，而且課堂練習(xí)中就開始出現(xiàn)難題，有的題甚至就是升學(xué)考試的試題。
學(xué)生難題解不了，只好用強(qiáng)行記憶來彌補(bǔ)，強(qiáng)記憶弱遷移和強(qiáng)記憶負(fù)遷移在所難免。
這種現(xiàn)象的結(jié)果是被迫機(jī)械學(xué)習(xí)，能力無法提高也就是必然的事情了。
遷移受學(xué)習(xí)的理解性程度的影響，而非僅靠記憶事實(shí)或墨守成規(guī)。
遷移不能發(fā)生的原因在于，對(duì)新知識(shí)的理解沒有達(dá)到一定水平，而僅僅靠記憶。
在新知識(shí)的初學(xué)階段，其意義的建構(gòu)和獲得還沒有真正完成，按照有意義學(xué)習(xí)理論，新舊意義之間的聯(lián)系有一個(gè)繼續(xù)同化的過程。
在這個(gè)過程中，一方面是對(duì)意義聯(lián)系理解的深化和貫通，另一方面是這種聯(lián)系需要一定程度的鞏固和強(qiáng)化，只有當(dāng)這兩方面達(dá)到一定的水平，有意義遷移才可能開始。
2.投入足夠的學(xué)習(xí)時(shí)間
數(shù)學(xué)是一門復(fù)雜學(xué)科，學(xué)習(xí)復(fù)雜學(xué)科需要更多的時(shí)間，即使看起來像天才，然而其個(gè)人為了拓展數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)和提高數(shù)學(xué)理解水平也需要投入大量的時(shí)間和精力。
新的學(xué)習(xí)理論明確提出，成功的學(xué)習(xí)需要時(shí)間的大量投入[1]。
即使美國(guó)人現(xiàn)在也開始認(rèn)識(shí)到，在他們的中小學(xué)教育中，要求學(xué)生學(xué)習(xí)投入的時(shí)間過少了。
但是學(xué)習(xí)時(shí)間和精力的“大量投入”，并不是一味地投入到訓(xùn)練記憶中，而是把主要時(shí)間投入到反思和理解中。
成功的學(xué)習(xí)需要大量的時(shí)間，主要原因是要達(dá)到理解的水平需要時(shí)間。
其有兩方面的含義，一是為了深化和貫通新舊意義的聯(lián)系，需要一定的時(shí)間去摸索與主題相關(guān)的具體信息;二是為了使得所獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)達(dá)到相當(dāng)水平的知悉程度，需要一定的時(shí)間來深化和強(qiáng)化這些聯(lián)系。
不同的學(xué)生所需要的時(shí)間也不同，教師必須對(duì)此有充分的認(rèn)識(shí)和思想準(zhǔn)備。
學(xué)生對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的初始學(xué)習(xí)，常常會(huì)遇到意義不夠明晰和邏輯聯(lián)系比較隱蔽的材料，一開始就要他們從事理解性學(xué)習(xí)是有困難的，他們需要時(shí)間去探究基本概念，生成與自己已有信息的聯(lián)系。
一下子接觸太多的遠(yuǎn)離主題的內(nèi)容會(huì)妨礙學(xué)生對(duì)新知識(shí)意義的建構(gòu)和隨后的遷移，因?yàn)樗麄內(nèi)狈ψ銐虻木唧w信息使這些原則變得有意義，因?yàn)樗麄儗?duì)遠(yuǎn)離主題的知識(shí)同自己已有知識(shí)之間的承襲關(guān)系和邏輯聯(lián)系不能接受，因此學(xué)生只能當(dāng)作孤立的、沒有聯(lián)系的事實(shí)去學(xué)習(xí)那些遠(yuǎn)離主題的內(nèi)容。
為學(xué)生提供先摸索與主題相關(guān)的具體信息(先行組織者)的機(jī)會(huì)顯得至關(guān)重要，這就是在最初創(chuàng)立一個(gè)“時(shí)機(jī)”，讓學(xué)生能夠充分知悉、了解、回憶或激活相關(guān)信息，使新知識(shí)的主題從這些相關(guān)的信息中自然流淌出來。
研究表明，有這樣的時(shí)機(jī)要比沒有這些機(jī)會(huì)的學(xué)生的學(xué)習(xí)更加有效。
為學(xué)生提供這樣的時(shí)機(jī)，包括創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境幫助學(xué)生搜索信息、提取信息、加工信息;也包括提供足夠的信息處理時(shí)間，學(xué)習(xí)不能操之過急，信息整合是一個(gè)復(fù)雜的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，需要足夠的時(shí)間。
3.利用變式把握關(guān)鍵特征
適當(dāng)安排一些反例能幫助學(xué)生注意先前沒有注意的新特征，了解哪些特征與某些特定概念相關(guān)或無關(guān)。
恰當(dāng)?shù)姆蠢粌H可用于知覺學(xué)習(xí)，還可以用于概念學(xué)習(xí)。
對(duì)何時(shí)、何地和如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的理解，即知識(shí)條件化，可通過“反例”的運(yùn)用而增強(qiáng)。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生很容易犯非本質(zhì)屬性泛化的錯(cuò)誤，這是非本質(zhì)屬性負(fù)遷移的結(jié)果[2]。
作為克服這類負(fù)遷移的一種有效方法，教學(xué)中常常運(yùn)用反例或辨析題制造認(rèn)知沖突，以幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。
利用反例、辨析題、變式題進(jìn)行教學(xué)都屬于變式教學(xué)的范疇。
反例的特點(diǎn)是改變對(duì)象本質(zhì)屬性而保持非本質(zhì)屬性不變，辨析題的特點(diǎn)是改變對(duì)象的非本質(zhì)屬性而保持本質(zhì)屬性不變，安排變式學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生把原先所沒有注意的非本質(zhì)屬性和本質(zhì)屬性的區(qū)別加以澄清，從而盡可能避免非本質(zhì)屬性泛化的錯(cuò)誤。
變式題的運(yùn)用在于提高解題學(xué)習(xí)中遷移能力的培養(yǎng)，這在我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)中是常用的方法。
二、影響遷移的其他因素
1.學(xué)習(xí)的情境
成功的遷移受到初始學(xué)習(xí)情境的影響，學(xué)生有可能在一種情境中學(xué)習(xí)，但卻不能遷移到其他情境中去。
實(shí)現(xiàn)成功的遷移，取決于知識(shí)與情境以怎樣的關(guān)系相連，取決于初始學(xué)習(xí)是如何獲得知識(shí)的。
一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象在單一而非復(fù)合情境中學(xué)習(xí)時(shí)，情境間的遷移往往相當(dāng)困難。
當(dāng)學(xué)生用學(xué)習(xí)情境中材料的細(xì)節(jié)，即過于具體的無關(guān)信息，來詳細(xì)解釋新材料時(shí)，知識(shí)尤其容易受情境制約。
當(dāng)學(xué)生在復(fù)合情境中抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象概念的特征時(shí)，更可能形成彈性的知識(shí)表征。
復(fù)合的情境指學(xué)習(xí)情境是趨于本源化、多樣化、綜合化、真實(shí)化、情節(jié)化的，概念的特征隱藏在眾多干擾因素之中，使得學(xué)生必須經(jīng)過由表及里、去粗取精、去偽存真的過程，才能抽取到對(duì)象的本質(zhì)，建構(gòu)起對(duì)象的意義，這樣不僅獲得了對(duì)象的本質(zhì)特征，而且在“舍棄”的過程中了解對(duì)象的非本質(zhì)特征，認(rèn)識(shí)本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性之間的聯(lián)系，從而同時(shí)把握對(duì)象的本質(zhì)的和非本質(zhì)的方面，達(dá)到從整體上認(rèn)識(shí)對(duì)象意義的作用。
這樣形成的將是具有彈性的適應(yīng)性的認(rèn)識(shí)。
但是過度情境化對(duì)知識(shí)的理解有弊無利。
過度情境化是指情境盡管可能真實(shí)，但情節(jié)過于復(fù)雜具體甚至無關(guān)，或者涉及因素過手瑣碎而缺少綜合性。
在這種情境中學(xué)習(xí)，常常造成學(xué)生所學(xué)知識(shí)的彈性缺失，仍然無法把學(xué)到的知識(shí)靈活地遷移到新的情境。
讓學(xué)生解決具體的案例，以及相似的其他案例，目的是幫助他們抽象出導(dǎo)致彈性遷移的一般原理。
這是一種多到一的概括和一到多的遷移。
實(shí)現(xiàn)這樣的概括和遷移，要求提供的刺激材料盡可能的豐富，并能充分突出主題或本質(zhì)特征。
另一個(gè)比較有效的辦法，是讓學(xué)生加入到為提高彈性理解而設(shè)計(jì)的“如果—怎么辦”類的問題解決當(dāng)中。
概括案例，要求學(xué)生創(chuàng)造一種不僅能解決單一的問題而且能夠解決整個(gè)相關(guān)類群?jiǎn)栴}的方法。
關(guān)于對(duì)付彈性缺失的3種方法，實(shí)際上是提供了提高彈性理解的3種“情境”。
遷移彈性的缺失，根本上是學(xué)習(xí)缺乏“想象力”的結(jié)果。
遷移本身就是一種“想象”的體現(xiàn)，沒有對(duì)不同事物間關(guān)系的想象，談何知識(shí)或策略的“遷移”?
“如果—怎么辦”類型的問題解決本身，更是地地道道的“想象”的問題，沒有對(duì)“如果”可能引出東西的“想象”，如何能找到“怎么辦”?“概括案例”也同樣離不開“想象”，沒有“想象”，哪來“抽象”;沒有“抽象”，又何有“概括”?人失去了想象，知識(shí)就會(huì)變成教條，智慧就會(huì)趨于枯竭。
培根說：知識(shí)就是力量。
愛因斯坦補(bǔ)充說：想象比知識(shí)更重要。
知識(shí)是由想象創(chuàng)造出來的，知識(shí)又是由想象激發(fā)活化的;知識(shí)是由想象推動(dòng)發(fā)展的，知識(shí)又是由想象帶向無限的。
目前我國(guó)大多與教育有關(guān)的活動(dòng)中，最普遍的問題就是缺乏對(duì)受教育者想象力的培養(yǎng)，刻板僵化的模式，長(zhǎng)官意志的管理，教條化的理念，受教育者不僅缺少想象的空間，甚至連想象的時(shí)間也沒有。
2.問題的表征
通過教學(xué)幫助學(xué)生在更高的抽象層面上表征問題，也可以提高數(shù)學(xué)遷移能力。
幫助學(xué)生在更一般的層面表征所要解決問題，能增加正向遷移的可能性，減少先前解決問題中策略應(yīng)用不當(dāng)?shù)呢?fù)向遷移影響。
讓學(xué)生在更一般的層面上掌握數(shù)學(xué)解決問題的策略，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)從問題的原始狀態(tài)開始，從無到有地實(shí)現(xiàn)問題的解決。
這是培養(yǎng)和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)新問題能力的有效途徑。
“在更一般的層面上表征解決問題”[1]的策略，應(yīng)該包括表征問題和表征解決問題兩個(gè)方面的策略。
表征問題的策略，應(yīng)該是指對(duì)問題性質(zhì)、特征和意義做出概括性的理解，著重搞清楚“是什么類型問題”;表征解決問題的策略則是指對(duì)解決問題過程中所使用的策略進(jìn)行抽取、提煉和概括，并且對(duì)問題情境、問題條件與問題策略的關(guān)系和聯(lián)系進(jìn)行概括和提取。
學(xué)習(xí)和運(yùn)用這兩種策略，可以促進(jìn)對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，達(dá)到在更一般的層面上，即從整體上、宏觀上認(rèn)識(shí)和把握問題及解決問題。
這是“問題模式識(shí)別”的特征識(shí)別模式，實(shí)際上這是形成一種問題原理，這種問題原理由于具有很高的概括性而大大增強(qiáng)了它的正遷移性，從而反過來促進(jìn)和加強(qiáng)解決新問題的能力。
學(xué)生如果僅僅受到具體問題解題訓(xùn)練而沒有觸及問題原理，他們雖然也可能很好地完成具體任務(wù)，但無法把學(xué)到的知識(shí)遷移應(yīng)用到新的問題。
接受抽象表征訓(xùn)練的學(xué)生則可以將知識(shí)遷移到具有類比關(guān)系的新問題上。
什么是“問題原理”?就是“在更一般層面上掌握表征問題的策略”。
如果沒有對(duì)某個(gè)“問題原理”的概念，就不可能把某個(gè)問題納入這個(gè)問題原理的范疇。
數(shù)學(xué)中應(yīng)該有多種問題原理，所謂“抽象表征”或者“抽象層面的表征”，就是把問題的認(rèn)識(shí)上升到“問題原理”的水平，才可能在解決新問題的時(shí)候，把新問題納入某個(gè)問題原理的范疇來解決。
所謂“學(xué)解題就是學(xué)解一類題”，也就是要把學(xué)解的題上升為問題原理，這樣學(xué)會(huì)的就不是具體的一個(gè)題，而是屬于一個(gè)問題原理范疇的題[3]。
3.學(xué)習(xí)與遷移條件的關(guān)系
遷移體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容和測(cè)試內(nèi)容之間的一種函數(shù)關(guān)系。
遷移量是在原來學(xué)習(xí)領(lǐng)域和新領(lǐng)域之間重疊部分的函數(shù)。
這個(gè)重疊部分就是：知識(shí)是如何表征的，是如何形成跨領(lǐng)域概念對(duì)應(yīng)的。
知識(shí)與任務(wù)之間的遷移隨它們所共有的認(rèn)知要素多少的程度而變化。
認(rèn)知表征和策略就屬于隨任務(wù)的不同而變化的“認(rèn)知要素”。
重疊部分就是指“共有認(rèn)知要素”。
認(rèn)知表征和認(rèn)知策略被看作“認(rèn)知要素”。
且不同的學(xué)習(xí)任務(wù)有不同的認(rèn)知要素。
但是如何識(shí)別不同任務(wù)間的“共有的認(rèn)知要素”，這仍然主要取決于對(duì)前面問題表征一段所述的“問題原理”的掌握。
同時(shí)，這為后面所給出的建立和形成共同的抽象結(jié)構(gòu)的方法提供了依據(jù)。
研究表明，大量的遷移發(fā)生在表層結(jié)構(gòu)大相徑庭但卻具有共同的抽象結(jié)構(gòu)的對(duì)象之間[1]。
當(dāng)不僅要思考陳述性知識(shí)而且要考慮程序性知識(shí)時(shí)。
眾多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)能力的遷移常常受同一原理的支配。
比如通常所說的受某種數(shù)學(xué)思想的支配，就是受同一原理的支配。
函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、極限的思想等，都是具有抽象結(jié)構(gòu)的原理。
來自于新的學(xué)習(xí)科學(xué)的研究表明，遷移大量地發(fā)生在具有共同抽象結(jié)構(gòu)的對(duì)象之間，因此，要實(shí)現(xiàn)遷移無疑要建立和形成這樣的共同抽象結(jié)構(gòu)。
幫助學(xué)生超越具體情境和例證，在抽象層面表征經(jīng)驗(yàn)是形成共同抽象結(jié)構(gòu)表征的十分有效的方法。
這也是解題反思的原理所在。
即在反思的過程中，“超越”“具體情境和例證”，在“抽象層面”上表征“經(jīng)驗(yàn)”，而不是“停留”在“具體層面”上，也就是不斷地提高認(rèn)識(shí)水平，不能始終停留在“低層次”認(rèn)識(shí)水平上。
這樣，“經(jīng)驗(yàn)”才可能得到提升，不斷地從“具體經(jīng)驗(yàn)”上升為“抽象經(jīng)驗(yàn)”，直至上升為“原理”。
抽象表征并不是保存事件的孤立特點(diǎn)或例證，而是建構(gòu)包含相關(guān)情境和事件成分的更大的圖式。
例如，包括類比推理在內(nèi)的圖式就能夠?qū)?fù)雜思維做出重要的指引：“成功的類比遷移，能導(dǎo)致運(yùn)用原來解決問題的一般圖式去解決后繼的問題�！边@是形成抽象表征的另一種方法。
“更大的圖式”即是“認(rèn)知模塊”或“解題知識(shí)塊”。
按照皮亞杰的意思，“圖式”包含一定的活動(dòng)結(jié)構(gòu)，是行動(dòng)的結(jié)構(gòu)和組織，具有概括性的特點(diǎn)，可以從一種情境遷移到另一種情境。
圖式是在同一活動(dòng)中各種運(yùn)用的重復(fù)中保持共同認(rèn)知要素的組織和結(jié)構(gòu)。
圖式的種類逐漸增加，其內(nèi)容也變得更加豐富，從簡(jiǎn)單的圖式到復(fù)雜的圖式，從內(nèi)部的行為圖式達(dá)到內(nèi)心的思維模式，從無邏輯的圖式到邏輯的圖式，逐漸形成復(fù)雜的認(rèn)知系統(tǒng)，形成龐大的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
一個(gè)人擁有的圖式越多，他所能同化的事物越多，范圍就越大。
實(shí)際也就是遷移的范圍就越大。
類比推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功遷移的一個(gè)有效途徑，而類比推理主要是運(yùn)用在整體上有某種聯(lián)系或相似的對(duì)象之間，所謂“共同的認(rèn)知要素”也是在整體意義上的，不是視覺對(duì)象的相同而是“認(rèn)知要素”相同，是指意義上的、理解上的、策略上的、原理上的，或者說是間接的而不是直接的。
抽象表征是通過多次觀察不同事件的異同而建立起來的。
這是形成抽象表征的又一種方法。
具有抽象結(jié)構(gòu)的圖式提高了記憶的提取和遷移能力，因?yàn)榫哂谐橄蠼Y(jié)構(gòu)的圖式源自于更大范圍的相關(guān)例證而非單一的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。
“抽象表征”的建立，就是為了把千差萬別、千變?nèi)f化的不同事件既區(qū)分又統(tǒng)一起來。
通過對(duì)許許多多“個(gè)別”的異同的分析，概括出“一般”的原理來。
“多次觀察不同事件的異同”。
在這方面就能達(dá)到很好的效果，數(shù)學(xué)作為抽象的思想材料更是如此。
首先是通過“多次”觀察找出不同對(duì)象的“所有的”相同和不同之處，沒有多次觀察往往會(huì)遺漏某相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，而被遺漏的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，往往是不容易被注意的又恰恰是重要的“關(guān)鍵點(diǎn)”，關(guān)鍵點(diǎn)總是深藏在最不容易被注意的隱蔽的深處。
其次是，對(duì)相同點(diǎn)的比較、對(duì)不同點(diǎn)比較以及對(duì)相同點(diǎn)與不同點(diǎn)之間的比較都要進(jìn)行多次觀察，才可能識(shí)別其中的“共同認(rèn)知要素”，共同認(rèn)知要素未必只從相同點(diǎn)中反映出來，較多的情況是在正反兩方面的比較中，更容易把“共同認(rèn)知要素”識(shí)別出來。
4.遷移與元認(rèn)知
遷移實(shí)質(zhì)上是一個(gè)要求學(xué)習(xí)者積極參與選擇和評(píng)估策略、思考資源和接受反饋的過程，也就是把遷移看成一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程。
這種積極的動(dòng)態(tài)遷移觀有別于靜態(tài)遷移觀。
靜態(tài)遷移觀就是認(rèn)為初始學(xué)習(xí)后學(xué)生即具有解決遷移問題的能力。
較理想的遷移是不需要有任何提示，個(gè)人就能自發(fā)地遷移合適的知識(shí)。
但是提示有時(shí)是必要的，提示能夠極大地促進(jìn)遷移。
“遷移量取決于學(xué)習(xí)或遷移時(shí)的注意指向”[1]。
“注意誰”對(duì)遷移量有決定性作用，是否能識(shí)別出“共同的認(rèn)知要素”，取決于“注意指向”。
這正是專家知識(shí)的第一特征：能識(shí)別新手所注意不到的關(guān)鍵信息的信息特征。
“注意指向”可能包括兩方面，一是“應(yīng)該注意情境中的什么對(duì)象”，二是“需要具有對(duì)信息特征的敏感”。
“應(yīng)該注意情境中的什么對(duì)象”，取決于對(duì)問題情境的觀察、問題信息的提取、問題性質(zhì)的辨析、問題原理的洞悉、問題類型的歸屬等多方面的認(rèn)知因素。
教學(xué)的觀察中的確能夠發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)中不同的人“注意指向”確有不同，這往往是產(chǎn)生學(xué)習(xí)差異的第一環(huán)節(jié)。
學(xué)習(xí)遷移有困難的學(xué)生往往對(duì)學(xué)習(xí)材料不能抓住重點(diǎn)對(duì)象，不能關(guān)注重點(diǎn)內(nèi)容，不能提取關(guān)鍵信息，不能把握細(xì)節(jié)與整體，不能洞察核心思想。
分級(jí)提示是幫助不同學(xué)生提高遷移水平的靈驗(yàn)辦法。
有些學(xué)生在接受一般性提示，如：“你能否想起曾經(jīng)做過與此相關(guān)的事?”遷移便能發(fā)生。
其他學(xué)生卻需要有更加具體的提示。
教學(xué)實(shí)際中，有的學(xué)生接受元認(rèn)知提示就行了，有的學(xué)生需要更具體的接近目標(biāo)的“認(rèn)知提示”，乃至“直接提示”。
分級(jí)提示應(yīng)該說是教學(xué)中一種更有效的啟發(fā)方法。
在啟發(fā)性教學(xué)中，以分級(jí)提問的方式來進(jìn)行元認(rèn)知提問效果更好。
提問的分級(jí)可以根據(jù)接近目標(biāo)的程度決定，提問從抽象到具體，從元認(rèn)知到認(rèn)知，所體現(xiàn)的遷移能力是由高水平到低水平的[4]。
教學(xué)上采用元認(rèn)知提示的方法，能促進(jìn)學(xué)生把知識(shí)遷移到新情境中，而無需借助明顯的提示。
教學(xué)中運(yùn)用元認(rèn)知提示的方法需要有前提，就是教學(xué)必須建立在探索和理解之上，只有以探索方式、建構(gòu)以理解為目標(biāo)的教學(xué)才可能需要元認(rèn)知，記憶、模仿、復(fù)制、機(jī)械訓(xùn)練，這些都是無須元認(rèn)知的。
那么，什么是“教學(xué)上的元認(rèn)知提示的方法”?一是新知識(shí)的教學(xué)中用于啟發(fā)的元認(rèn)知提示語;二是解題學(xué)習(xí)中用于理解題意、探索解法的元認(rèn)知提示語;三是用于課堂教學(xué)對(duì)話的元認(rèn)知提示語。
之所以強(qiáng)調(diào)以探索的方式教學(xué)，是為了強(qiáng)調(diào)“從無到有”的教學(xué)過程和教學(xué)思想，是為了教會(huì)學(xué)生如何“從無到有”地思考，是為了教學(xué)生學(xué)會(huì)如何“從無到有”地學(xué)習(xí)。
以探索的方式教學(xué)，并非一定要有探究式教學(xué)中，也可以在講授式教學(xué)中進(jìn)行[4]。
元認(rèn)知提示策略有助于學(xué)習(xí)沿著確定目標(biāo)，生成新觀點(diǎn)，提煉和細(xì)述已有觀點(diǎn)，尋找觀念的銜接，思考與反思活動(dòng)的途徑進(jìn)行。
當(dāng)教師淡出時(shí)，學(xué)生能夠向自己發(fā)問自我調(diào)節(jié)問題。
最終是學(xué)生要學(xué)會(huì)使用元認(rèn)知提示語，當(dāng)教師淡出時(shí)，學(xué)生會(huì)用元認(rèn)知提示語引導(dǎo)自己，經(jīng)過長(zhǎng)期使用，使之變?yōu)橐环N潛意識(shí)，即在思考問題時(shí)，無意識(shí)地、自動(dòng)地運(yùn)用元認(rèn)知提示語引導(dǎo)自己的思考。
就是讓學(xué)生自己學(xué)習(xí)掌握運(yùn)用元認(rèn)知提示語，自覺進(jìn)行元認(rèn)知活動(dòng)。
三、原有經(jīng)驗(yàn)影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移
“所有的學(xué)習(xí)都涉及到原有經(jīng)驗(yàn)的遷移。”[1]這一原理對(duì)包括數(shù)學(xué)教學(xué)在內(nèi)的所有教育實(shí)踐都具有重要的意義。
需要引起注意的是，有些已有經(jīng)驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生不易覺察的導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)遷移影響。
由于學(xué)習(xí)涉及到先前經(jīng)驗(yàn)的遷移，所以一個(gè)人現(xiàn)有知識(shí)也能成為學(xué)習(xí)新信息的障礙。
對(duì)年齡不大的學(xué)生來說，早期的數(shù)學(xué)概念會(huì)左右他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的注意力和思維。
比如，大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)算術(shù)時(shí)都形成了這樣的觀點(diǎn)：數(shù)字的基礎(chǔ)是計(jì)算原理。
數(shù)字是一連串要數(shù)(shǔ)的東西，加法就是把兩堆東西“合二為一”。
這樣的認(rèn)識(shí)在學(xué)校教育的初期很見效。
然而，一旦學(xué)生接觸有理數(shù)，他們的這種想法會(huì)對(duì)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)產(chǎn)生不利的影響。
因?yàn)閷W(xué)生無法通過數(shù)物生成一個(gè)分?jǐn)?shù)，于是早期的數(shù)字知識(shí)成為后來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的潛在障礙，對(duì)許多學(xué)生來說確實(shí)如此。
可見用“數(shù)物”方法學(xué)習(xí)算術(shù)四則運(yùn)算并不是一個(gè)好方法，外國(guó)人長(zhǎng)期依賴這種方法學(xué)習(xí)算術(shù)，其結(jié)果是“數(shù)物”成了他們丟不掉的“拐棍”。
但是我們的小學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)在把這種教學(xué)方法當(dāng)作一個(gè)寶，甚至到了初中在很多場(chǎng)合還要用這種方法。
殊不知數(shù)學(xué)的每一個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)都要有不同程度抽象層次的提升，沒有這種提升，數(shù)學(xué)水平停滯不前，數(shù)學(xué)思維水平也停滯不前。
這個(gè)實(shí)例反映的不是缺少教育教學(xué)理念，而是缺少對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起碼認(rèn)識(shí)。
但是在初中，用一個(gè)整式除以另一個(gè)整式來定義分式，則是簡(jiǎn)單的模仿“分?jǐn)?shù)”概念的建立。
分?jǐn)?shù)的定義方法是為了適應(yīng)初學(xué)的幼兒幾乎沒有什么數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，而到了初中再停留在這樣的水平就不合適了。
分?jǐn)?shù)的定義是一種形式定義，把分式定義為“分母含有未知數(shù)的代數(shù)表達(dá)式”，表面上是“形式定義”，實(shí)際上是一種實(shí)質(zhì)性定義。
根本在于能反映代數(shù)的本質(zhì)——未知數(shù)作為除數(shù)參加除法這個(gè)代數(shù)運(yùn)算，分式就把未知數(shù)參加到除法運(yùn)算里這個(gè)代數(shù)的本質(zhì)特征反映出來了。
實(shí)際上，分?jǐn)?shù)作為數(shù)的一種符號(hào)形式，對(duì)分式概念的引入比有潛在意義：一個(gè)整數(shù)除以另一個(gè)整數(shù)并不總能除得盡，于是就要引入一種表示“商”的準(zhǔn)確值的符號(hào)——分?jǐn)?shù)。
即，除不盡——干脆把除號(hào)改記為分式線，把整個(gè)除式的形式地放在那里作為商，這個(gè)形式就代表了一個(gè)數(shù)值。
到了代數(shù)里，分?jǐn)?shù)的這種形式化思想就可以類比遷移進(jìn)來，把表示未知數(shù)的字母形式的保留在運(yùn)算式中，于是產(chǎn)生單項(xiàng)式、多項(xiàng)式;整式、分式;冪、根式;方程、不等式等[4]。
四、結(jié)束語
數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)主要目標(biāo)是為使學(xué)生能夠靈活地適應(yīng)新的問題和情境。
學(xué)習(xí)情境是促進(jìn)遷移的一個(gè)重要方面。
僅在單一的情境中接受的知識(shí)與在多樣化情境中學(xué)到的。
知識(shí)相比更不利于彈性遷移。
在多樣化的情境中，學(xué)生更有可能抽象概念的相關(guān)特征，發(fā)展更加彈性的知識(shí)表征。
問題的抽象表征也有利于遷移。
運(yùn)用元認(rèn)知提示和分級(jí)提示的教學(xué)方法可以幫助學(xué)生增進(jìn)理解和遷移。
所有的新學(xué)習(xí)都涉及遷移。
先前的知識(shí)可能幫助或妨礙新信息的理解。
【參考文獻(xiàn)】
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