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探究泰勒公式求函數(shù)極限的方法
在數(shù)學(xué)分析中，函數(shù)極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)，因此掌握好函數(shù)極限的求解方法是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié).本文就用泰勒公式求極限給予一個(gè)簡(jiǎn)單的概括，望對(duì)讀者有所幫助.
【摘 要】對(duì)于求解函數(shù)極限的方法，有很多版本的數(shù)學(xué)分析書本中都談到，很多參考文獻(xiàn)和報(bào)刊中都詳細(xì)的講解了關(guān)于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)極限的求解方法.裴禮文教授也詳細(xì)的講述了關(guān)于用洛必達(dá)法則來(lái)求函數(shù)的極限.而對(duì)于陳文燈教授也講述了關(guān)于用等價(jià)無(wú)窮小與泰勒公式來(lái)求解函數(shù)的極限.以上關(guān)于用泰勒公式求函數(shù)極限的方法，本人也做了一些總結(jié).
【關(guān)鍵詞】函數(shù);極限;泰勒公式
1 準(zhǔn)備工作
在我們所學(xué)的微積分中，其所研究的對(duì)象是函數(shù).對(duì)于變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，就是要看是否存在一種對(duì)應(yīng)原則，使得按照這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則，當(dāng)其中一個(gè)變量或幾個(gè)變量(稱為自變量)的取值確定之后，余下的另一個(gè)變量(稱為因變量)的取值就被確定了.只有一個(gè)自變量的函數(shù)稱為一元函數(shù)，有多個(gè)自變量的函數(shù)稱為多元函數(shù).
函數(shù)極限的兩個(gè)定義：
(1)設(shè)f是在[a，+∞)上的一個(gè)函數(shù)，A是一個(gè)已經(jīng)確定的數(shù).如果對(duì)任意所給的ε>0，都存在一個(gè)正數(shù)M，其中M大于或等于a，使得當(dāng)x>M時(shí)有f(x)-A<ε，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨向+∞時(shí)它是以A為它的極限值，我們記為f(x)→A(x→+∞).
在上述中正數(shù)M的作用和函數(shù)極限的定義差不多，表明x是充分大的程度;x是比M大的所有實(shí)數(shù)，而不只是一個(gè)正整數(shù)，因此，當(dāng)x趨向正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f以a為極限那么：a的很小的領(lǐng)域內(nèi)必含有f在正無(wú)窮大的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的全部函數(shù)值.
(2)設(shè)函數(shù)f在以點(diǎn)a的某一個(gè)Uo(a，δ′)空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，其中A是一個(gè)定數(shù)，如果對(duì)于任意的一個(gè)ε>0，存在正數(shù)δ(<δ′)，使得當(dāng)0
2 利用泰勒公式求極限
2.1 以下是一些常見(jiàn)的：
2.2 利用泰勒公式求不確定的式子中的極限
設(shè)f(x)與g(x)在x=a的泰勒公式分別是
f(x)=A(x-a)n+o((x-a)n)，g(x)=B(x-a)m+o((x-a)m)，
其中A≠0，B≠0，則：
解 ：因?yàn)?/p>
又因?yàn)閟inx2～x2(x→0)
3 總結(jié)
用泰勒求極限的方法，在我們具體遇到問(wèn)題時(shí)要靈活運(yùn)用它.對(duì)與常見(jiàn)的幾種函數(shù)的泰勒公式展開式要記住，并靈活運(yùn)用.總之，對(duì)求解函數(shù)的極限，我們對(duì)具體問(wèn)題運(yùn)用什么方法要具體對(duì)待.
【參考文獻(xiàn)】
[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：49.
[2]陳文燈.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].北京：世界圖書出版社，2004：90-102.
[3]劉玉璉，付沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2010：13-21.
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