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函數(shù)求極值的方法總結(jié)
數(shù)學(xué)主要以函數(shù)為研究對象,而函數(shù)極值無論在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)里都是函數(shù)部分的一個重要問題,下文是函數(shù)求極值的方法,希望對同學(xué)們有幫助!
一、利用二次方程的判別式求極值
在求某一類分式函數(shù)的極值時,若其分子或分母是關(guān)于x的二次式,可將其變?yōu)殛P(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解,由判別式求的。
例1、求函數(shù)y=求函數(shù)極值的若干方法 的極值。
解:將原函變形為關(guān)于x的二次方程
(y-1)x 求函數(shù)極值的若干方法 -2yx-3y=0
∵x∈R,且x≠3,x≠-1,
∴上方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定有解。
△= (-2y) 求函數(shù)極值的若干方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0
解之得 y≤0 或 y≥ 求函數(shù)極值的若干方法
這里雖然y無最大(。┲担珜(yīng)于y=0和y= 求函數(shù)極值的若干方法 的x分別為x=0和x=-3,
所以當(dāng)x=0時,y有極大值0,當(dāng)x=-3時,y有極小值 求函數(shù)極值的若干方法 。
例2、求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 的值域。
解:將原函數(shù)變形得:y+yx 求函數(shù)極值的若干方法 =2x
∵x∈R,∴△= 4-4y 求函數(shù)極值的若干方法 ≥0,解之得:-1≤y≤1
∴函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 值域?yàn)閇-1,1]
由上面兩例可以看出,用二次方程的判別式求函數(shù)的極值時,實(shí)際上就是將y看作x的系數(shù),利用函數(shù)的定義域非空,即方程有解,將問題轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式。但要注意的是:在變型過程中,可能會將x的取值范圍擴(kuò)大,但所求函數(shù)的極值一定在不等式的解集內(nèi),此時,要注意檢驗(yàn),即招2出y取極值時的x是否有意義,若無意義必須舍去,再重新考慮其極值。
二、利用倒數(shù)關(guān)系求極值
對于有些分式函數(shù),當(dāng)其分子不含變量時,可由分母的極值來求整個函數(shù)的極值。
例3、求函數(shù)y=2- 求函數(shù)極值的若干方法 的最小值。
解:∵x 求函數(shù)極值的若干方法 -2x+6 = (x-1) 求函數(shù)極值的若干方法 +5>0
∴函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù), 又由 x 求函數(shù)極值的若干方法 -2x+6=(x-1) 求函數(shù)極值的若干方法 +5 知
當(dāng)x=1時, 求函數(shù)極值的若干方法 取最小值 求函數(shù)極值的若干方法 ,
∴ 求函數(shù)極值的若干方法 取最大值 求函數(shù)極值的若干方法 ,
此時 y=2- 求函數(shù)極值的若干方法 取最小值 2- 求函數(shù)極值的若干方法 ,
即 當(dāng)x=1時,有y的最小值是 2- 求函數(shù)極值的若干方法 。
三、利用重要不等式求極值
對于一類各項(xiàng)積為定值,且每一項(xiàng)的符號相等的函數(shù)極值,可考慮用重要不等式解決。
例4、求函數(shù)y=4x+ 求函數(shù)極值的若干方法 的極值。
解:顯然函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔诹愕囊磺袑?shí)數(shù)。
(1) 當(dāng)x>0時,y = 4x+ 求函數(shù)極值的若干方法 ≥2 求函數(shù)極值的若干方法 =2 求函數(shù)極值的若干方法 =12
∴當(dāng)4x = 求函數(shù)極值的若干方法 時, 即x = 求函數(shù)極值的若干方法 時, y有極小值12.
(2)當(dāng)x<0時,令x = -t, 則t>0. y = 4x+9/x = - (4t+ 求函數(shù)極值的若干方法 )≤-12
∴當(dāng)x = 求函數(shù)極值的若干方法 時,y有極大值-12 。
在利用重要不等式解題時,一定要注意必須要求每一項(xiàng)均為正數(shù),若均為負(fù)數(shù)時,可提取一個負(fù)號,使括號內(nèi)每一項(xiàng)仍為正。上題中若只考慮第一種情況,就不完全了。
例5、已知l<0,m<0,求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 在(0,+∞)上的最大值。
分析:雖然x 求函數(shù)極值的若干方法 ·8x· 求函數(shù)極值的若干方法 =2 求函數(shù)極值的若干方法 為常數(shù),但由x 求函數(shù)極值的若干方法 =8x= 求函數(shù)極值的若干方法 解不出實(shí)數(shù)x,即無實(shí)數(shù)解。故由y≥3 求函數(shù)極值的若干方法 =3·8=24得出y的最小值為24的結(jié)論是錯誤的,但如能把8x、64/x 求函數(shù)極值的若干方法 各分成相等的m項(xiàng)和n項(xiàng),設(shè)法定出m、n、x,然后再求出y的最小值就行了。
解:設(shè)y=x 求函數(shù)極值的若干方法 + 求函數(shù)極值的若干方法 + 求函數(shù)極值的若干方法 +……+ 求函數(shù)極值的若干方法 + 求函數(shù)極值的若干方法 + 求函數(shù)極值的若干方法 + ……+ 求函數(shù)極值的若干方法 ,
(其中 求函數(shù)極值的若干方法 有m項(xiàng), 求函數(shù)極值的若干方法 有n項(xiàng))。
即m= 求函數(shù)極值的若干方法 ,n= 求函數(shù)極值的若干方法 時(由x 求函數(shù)極值的若干方法 = 求函數(shù)極值的若干方法 ,x 求函數(shù)極值的若干方法 = 求函數(shù)極值的若干方法 得),y有最小值,
由2+ 求函數(shù)極值的若干方法 =3· 求函數(shù)極值的若干方法 (x 求函數(shù)極值的若干方法 ·x 求函數(shù)極值的若干方法 =x 求函數(shù)極值的若干方法 )得x 求函數(shù)極值的若干方法 +4x=96,解此方程的唯一正數(shù)解x=2,
此時m = 4, n = 2當(dāng)時,y的最小值為4+16+8=28(代回去求得)
y≥7 求函數(shù)極值的若干方法 = 7· 求函數(shù)極值的若干方法 = 7·4=28
四、利用換元法求極值
有些無理函數(shù),往往用以上方法無法求出極值,此時可試用換元法求之。
例6.求函數(shù) y= 求函數(shù)極值的若干方法 -x 在區(qū)間[0,1]上的最大值。
解:設(shè) 求函數(shù)極值的若干方法 = t,則0≤t≤1,且x = t 求函數(shù)極值的若干方法
∴當(dāng)t=求函數(shù)極值的若干方法 即x= 求函數(shù)極值的若干方法 時,y取最大值 求函數(shù)極值的若干方法 .
這里利用了換元法將無理式變形為二次求解,它是求無理函數(shù)極值的常用方法,特別是對形如 y=kx+ 求函數(shù)極值的若干方法 的函數(shù), 可令 t= 求函數(shù)極值的若干方法 化為關(guān)于的二次函數(shù)再利用配方法求得其極值。
例7.求函數(shù)y=x 求函數(shù)極值的若干方法 +1+2x(1-x 求函數(shù)極值的若干方法 )的最大值和最小值
解:∵y的定義域?yàn)閇-1,1],故可令x=cosθ(0≤θ≤π),
則 y= 求函數(shù)極值的若干方法
= 求函數(shù)極值的若干方法 (其y=中求函數(shù)極值的若干方法 為銳角,且 求函數(shù)極值的若干方法 )
∵-1≤sin(2θ+α)≤1,
∴ 求函數(shù)極值的若干方法 ≤y≤ 求函數(shù)極值的若干方法
當(dāng)sin( 求函數(shù)極值的若干方法 ) = -1時, 求函數(shù)極值的若干方法
故x = 求函數(shù)極值的若干方法
當(dāng)sin 求函數(shù)極值的若干方法 時,2 求函數(shù)極值的若干方法
故x = 求函數(shù)極值的若干方法
即當(dāng)x =- 求函數(shù)極值的若干方法 時, 求函數(shù)極值的若干方法
當(dāng)x= 求函數(shù)極值的若干方法 時, 求函數(shù)極值的若干方法
此題中抓住了函數(shù)的定義域[-1,1]為條件。從而將無理函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來得以解決函數(shù)的極值問題。
五、用解析法求極值
形如y=求函數(shù)極值的若干方法 其中(f(x)、g(x)是關(guān)于的二次式,且二次項(xiàng)系數(shù)為1)的函
極值,直接用純代數(shù)法非常困難,因?yàn)橐椒絻纱尾拍苋サ舾枴5艚柚c解析法,將 求函數(shù)極值的若干方法 分別視作平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離,利用平面圖形性質(zhì),便可簡捷求解。
例8.求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 的最小值,其中a、b、c均為正數(shù),
解:在直角坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)C (0, 求函數(shù)極值的若干方法 )、D (c,- 求函數(shù)極值的若干方法 )、M (x,0) 、B (c,0)
則y = 求函數(shù)極值的若干方法 =∣CM∣+∣MD∣
即為M到C、D兩點(diǎn)的距離之和。
由平面圖形性質(zhì)可知當(dāng)且僅當(dāng)C、M、D三點(diǎn)共線時距離之和最短,此時M在Mˊ位置上。
由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣
即 求函數(shù)極值的若干方法 解之得 x=求函數(shù)極值的若干方法
此時 求函數(shù)極值的若干方法 =∣CD∣= 求函數(shù)極值的若干方法
例9.求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 的值域。
分析y= 求函數(shù)極值的若干方法 = 求函數(shù)極值的若干方法
所以 求函數(shù)極值的若干方法 可看作平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)求函數(shù)極值的若干方法 與點(diǎn) 求函數(shù)極值的若干方法 的距離之差。
解: 在直角坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)A(- 求函數(shù)極值的若干方法 , 求函數(shù)極值的若干方法 )、點(diǎn)B( 求函數(shù)極值的若干方法 , 求函數(shù)極值的若干方法 )、點(diǎn)M(x,0)
則y= 求函數(shù)極值的若干方法 =∣AM∣-∣BM∣
即為△ABM的兩邊之差,由平面圖形性質(zhì)知:
∣AM∣-∣BM∣<∣AB∣=∣ 求函數(shù)極值的若干方法 ∣=1
反之∣BM∣-∣AM∣<∣AB∣= 1
∴∣y∣<1
∴-1< y <1
此法一般適用于為兩個二次根式的和、差函數(shù),且根號內(nèi)為二次函數(shù)式,此時可通過配方將其變型為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離和與差來計(jì)算。這樣既省去了平方計(jì)算的麻煩,又使式子具有明顯的幾何意義,從而更方便找出解題方法,將難度較大的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題。在解此軸上的點(diǎn)到另兩點(diǎn)的距離和或差,若求和的極值,則當(dāng)三點(diǎn)共線時有最小值,即為這兩點(diǎn)的距離,若為差,則無極值,此時差的絕對值小于這兩點(diǎn)的距離,從而可求出函數(shù)值域。
例10.求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 的值域
分析:此題既是分式函數(shù),又是三角函數(shù),往往用純代數(shù)法不易達(dá)到目的,
但如果將其看作是點(diǎn) ( 求函數(shù)極值的若干方法 )與點(diǎn)(3,2)所在直線的斜率,就不難解決了。
解:設(shè)xˊ= 求函數(shù)極值的若干方法 ,yˊ=求函數(shù)極值的若干方法 , 則 y= 求函數(shù)極值的若干方法
即為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)( 求函數(shù)極值的若干方法 )與(3,2)所在直線的斜率,
又(xˊ, yˊ)在圓 xˊ 求函數(shù)極值的若干方法 + yˊ 求函數(shù)極值的若干方法 = 1 上,
故只要求出點(diǎn)(3,2)與圓上每一點(diǎn)連線的斜率范圍即可。
設(shè)過(3,2)且與圓 xˊ 求函數(shù)極值的若干方法 + yˊ 求函數(shù)極值的若干方法 = 1 相交的直線方程為
yˊ-2=k (xˊ-3) , 即 kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0
由點(diǎn)到直線的距離公式知: 求函數(shù)極值的若干方法 = 1,
即(-3k+2) 求函數(shù)極值的若干方法 =1+k 求函數(shù)極值的若干方法 , 8k 求函數(shù)極值的若干方法 -12k+3 = 0
∴k= 求函數(shù)極值的若干方法
∴當(dāng) 求函數(shù)極值的若干方法 ≤k≤ 求函數(shù)極值的若干方法 時,直線與圓相交
即函數(shù)y=求函數(shù)極值的若干方法 的值域?yàn)閇 求函數(shù)極值的若干方法 , 求函數(shù)極值的若干方法 ]
形如f(x) = 求函數(shù)極值的若干方法 函數(shù)的值域,可將其看作平面內(nèi)點(diǎn)( 求函數(shù)極值的若干方法 , 求函數(shù)極值的若干方法 ),(-b,-d)的斜率來解決 ,而點(diǎn)(求函數(shù)極值的若干方法 )必在二次曲線 求函數(shù)極值的若干方法 = 1上,再利用點(diǎn)(-b,-d)的直線與曲線相交的斜率取值范圍來解決是一種簡便易行的方法。從上例我們可以看出,上
面函數(shù)關(guān)系也可看成是:求三元函數(shù),多元函數(shù)的最大、最小值問題
我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值、極小值的步驟,對于多元函數(shù)的極大值、極小值的求解也可采用同樣的步驟。下面我們給出實(shí)際問題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。 如下:
a):根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系,確定其定義域;
b):求出駐點(diǎn);
c):結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值.
例題:在平面3x+4y-z=26上求一點(diǎn),使它與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最短。
解答:a):先建立函數(shù)關(guān)系,確定定義域
求解與原點(diǎn)的距離最短的問題等價于求解與原點(diǎn)距離的平方最小的問題.但是P點(diǎn)位于所給的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我們所需的函數(shù)關(guān)系:
-∞<x<+∞,-∞<y<+∞
b):求駐點(diǎn)
解得唯一駐點(diǎn)x=3,y=4.由于點(diǎn)P在所給平面上,故可知
z=-1
c):結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值在約束條件 3x+4y-z=26 下的最小值 ,一個多元函數(shù)在一個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值。
由問題的實(shí)際意義可知,原點(diǎn)與平面距離的最小值是客觀存在的,且這個最小值就是極小值.而函數(shù)僅有唯一的駐點(diǎn).所以,平面上與原點(diǎn)距離最短的點(diǎn)為P(3,4,-1)的若干方法 。
拓展延續(xù)
關(guān)于函數(shù)求極值的方法有如下幾項(xiàng):
導(dǎo)數(shù)求極值步驟:
1.先求導(dǎo),
2.使導(dǎo)函數(shù)等于零,求出x值,
3.確定定義域,
4.畫表格,
5.找出極值,注意極值是把導(dǎo)函數(shù)中的x值代入原函數(shù)。
導(dǎo)數(shù)求極值步驟:
1求函數(shù)f'(x)的極值步驟
1、找到等式f'(x)=0的根
2、在等式的左右檢查f'(x)值的符號。如果為負(fù)數(shù),則f(x)在這個根得到最大值;如果為正數(shù)則f(x)在這個根得到最小值。
3、判斷f'(x)無意義的點(diǎn)。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的無意義點(diǎn)。這些點(diǎn)被稱為極點(diǎn),然后根據(jù)定義來判斷。
4、函數(shù)z=f(x,y)的極值的方法描述如下:
(1)解方程式fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求一個實(shí)數(shù)解,可以求所有的塞音;
(2)對于每個停止點(diǎn)(x0,y0),找到二階偏導(dǎo)數(shù)的值a,b,c;
(3)確定ac-b2的符號,并根據(jù)定理2的結(jié)論確定f(x0,y0)是一個最大值、最大值還是最小值。
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