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函數(shù)概念教學(xué)論文
函數(shù)概念教學(xué)論文是初中或高中教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，教師有專業(yè)的函數(shù)概念教學(xué)意識與技巧至關(guān)重要。
函數(shù)概念教學(xué)論文【1】
[摘要]函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它與生活和學(xué)習(xí)聯(lián)系緊密。
教師在組織高中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時(shí)，一要幫助學(xué)生梳理函數(shù)概念，二要進(jìn)行目標(biāo)解析，三要幫學(xué)生診斷學(xué)習(xí)中遇到的問題。
[關(guān)鍵詞]
初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)概念，但到了高中，函數(shù)概念發(fā)生了變化。
此時(shí)，數(shù)學(xué)教師要幫學(xué)生理清概念，解析問題。
一、對“函數(shù)”概念的理解
在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)概念，建立的函數(shù)概念是：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么，我們就說y是x的函數(shù)。
其中x稱為自變量。
這個(gè)定義從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系。
從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式。
進(jìn)入高中，學(xué)生需要建立的函數(shù)概念是：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)|x∈A叫做函數(shù)的值域。
這個(gè)概念與初中概念相比更具有一般性。
其實(shí)，高中的函數(shù)概念與初中的函數(shù)概念本質(zhì)上是一致的。
不同點(diǎn)是表述方式不同──高中明確了集合、對應(yīng)的方法;初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經(jīng)滲透了集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)。
且高中引入了抽象的符號f(x)，f(x)指集合B中與x對應(yīng)的那個(gè)數(shù)，當(dāng)x確定時(shí)，f(x)也唯一確定。
另外，初中并沒有明確函數(shù)值域這個(gè)概念。
函數(shù)概念的核心是“對應(yīng)”，理解函數(shù)概念要注意：1.兩個(gè)數(shù)集間有一種確定的對應(yīng)關(guān)系f，即對于數(shù)集A中每一個(gè)x，數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)。
2.涉及兩個(gè)數(shù)集A、B，而且這兩個(gè)數(shù)集都非空;這里的關(guān)鍵詞是“每一個(gè)”“唯一確定”。
也就是，對于集合A中的數(shù)，不能有的在集合B中有數(shù)與之對應(yīng)，有的沒有。
而且，在集合B中只能有一個(gè)與之對應(yīng)，不存在兩個(gè)或者兩個(gè)。
3.函數(shù)概念中涉及的集合A、B，對應(yīng)關(guān)系f是一個(gè)整體，是集合A與集合B之間的一種對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該從整體的角度來認(rèn)識函數(shù)。
二、目標(biāo)解析
1.通過豐富實(shí)例，建立函數(shù)概念的背景，使學(xué)生體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。
能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素。
2.會判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域。
3.通過從實(shí)例中抽象概括函數(shù)概念的活動，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。
教學(xué)的重點(diǎn)是，在研究已有函數(shù)實(shí)例(學(xué)生舉出的例子)的過程中，感受在兩個(gè)數(shù)集A、B之間所存在的對應(yīng)關(guān)系f，進(jìn)而用集合、對應(yīng)的語言刻畫這一關(guān)系，獲得函數(shù)概念。
然后再進(jìn)一步理解它。
三、教學(xué)問題診斷分析
1.學(xué)生對函數(shù)概念中的“每一個(gè)”“唯一確定”等關(guān)鍵詞關(guān)注不夠，領(lǐng)會不深。
教學(xué)中，可以通過反例讓學(xué)生加以認(rèn)識。
如有學(xué)生的考試情況是這樣的：集合A={1，2，3，4，5，6}，B={90，93，98，92}，f：每次考試成績。
這里就不能表示一個(gè)函數(shù)。
因?yàn)閷τ诩螦中的元素“4”，在集合B中就沒有元素與它對應(yīng)。
2.忽視“數(shù)集”二字，把一般的映射關(guān)系理解為函數(shù)。
如：高一(2)班的同學(xué)組成集合A，教室里的座椅組成集合B，每個(gè)學(xué)生都有唯一的一個(gè)座椅，班上還有空椅子。
這能否算作一個(gè)函數(shù)的例子，為什么?
3.對為什么集合B不是函數(shù)的值域不理解.讓學(xué)生感受到，有時(shí)，為了研究方便或者確定一個(gè)函數(shù)的值域暫時(shí)有困難，使得B={f(x)|x∈A} 更加合理。
4.當(dāng)函數(shù)關(guān)系具有解析式表示時(shí)，f(x)當(dāng)然可以用x的解析式表示出來。
學(xué)生會因此而誤以為對應(yīng)關(guān)系f都可以用解析式表示。
可以通過所舉實(shí)例的類型，引導(dǎo)學(xué)生，明確表示對應(yīng)關(guān)系f并非解析表達(dá)式不可。
但這不是本節(jié)課的重點(diǎn)，應(yīng)該放在下一節(jié)課“函數(shù)的表示”中解決。
只要注意所列舉的例子不光是有解析式的即可。
5.本課的難點(diǎn)是：對抽象符號y= f(x)的理解。
可以通過具體函數(shù)讓學(xué)生理解抽象的f(x)。
比如函數(shù)f(x)=x2，A=x|-2≤x<2 .f(-1)=1，f(1.5)=2.25，f(-2)=4，
f(2)無定義。
f(x)=x2，x∈A。
最終，讓學(xué)生明白，f(x)是集合B中的一個(gè)數(shù)，是與集合A中的x對應(yīng)的那個(gè)數(shù).當(dāng)x取具體數(shù)字時(shí)，f(x)也是一個(gè)具體的數(shù)。
函數(shù)概念教學(xué)論文【2】
摘要：函數(shù)的概念及相關(guān)內(nèi)容是高中和職業(yè)類教材中非常重要的部分，許多學(xué)生認(rèn)為這些內(nèi)容比較抽象、難懂、圖像多，方法靈活多樣。
以致部分學(xué)生對函數(shù)知識產(chǎn)生恐懼感。
就教學(xué)過程中學(xué)生的反應(yīng)和自己的反思，淺淡幾點(diǎn)自己的看法。
關(guān)鍵詞：函數(shù);對應(yīng);映射;數(shù)形結(jié)合
1要把握函數(shù)的實(shí)質(zhì)
17世紀(jì)初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數(shù)符號。
關(guān)于函數(shù)概念有“變量說”、“對應(yīng)說”、“集合說”等。
變量說的定義是：設(shè)x、y是兩個(gè)變量，如果當(dāng)變量x在實(shí)數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時(shí)，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。
我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。
初中教材中的定義為：如果在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y，并且對于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。
它的優(yōu)點(diǎn)是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對應(yīng)缺少充分地刻畫，以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關(guān)系相悖，究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學(xué)生不易區(qū)別三者的關(guān)系。
迪里赫萊(P.G.Dirichlet)注意到了“對應(yīng)關(guān)系”，于1837年提出：對于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對應(yīng)，那么y叫x的一個(gè)函數(shù)。
19世紀(jì)70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應(yīng)稱為映射，并把：“一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。
對應(yīng)說的優(yōu)點(diǎn)有：①它抓住了函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對應(yīng)，是一種對應(yīng)法則。
�、谒约蠟榛A(chǔ)，更具普遍性。
�、鬯鼘⒊橄竦闹R以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學(xué)與身高(實(shí)數(shù))的對應(yīng);某班同學(xué)在某次測試的成績的對應(yīng);全校學(xué)生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對應(yīng)等都是函數(shù)。
函數(shù)由定義域、值域、對應(yīng)法則共同刻劃，它們相互獨(dú)立，缺一不可。
這樣很明確的指出了函數(shù)的實(shí)質(zhì)。
對于集合說是考慮到集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)最原始的概念，而函數(shù)的定義里的“對應(yīng)”卻是一個(gè)外加的形式，，似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個(gè)x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時(shí)就稱集合f為A到B的一個(gè)函數(shù)。
這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個(gè)特殊子集，而序偶(x，y)又是用集合定義的：(x，y)={{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數(shù)關(guān)系生動的直觀，既看不出對應(yīng)法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學(xué)生理解，而且在推導(dǎo)中也不便使用，如此完全化的數(shù)學(xué)語言只能在計(jì)算機(jī)中應(yīng)用。
2加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合
數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。
在7—12年級所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對每一類函數(shù)都是利用其圖像來研究其性質(zhì)的，作圖在教學(xué)中顯得無比重要。
我認(rèn)為這一部分的教學(xué)要做到學(xué)生心中有形，函數(shù)圖像就相當(dāng)于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數(shù)性質(zhì)就比較直觀，處理問題時(shí)就會得心應(yīng)手。
函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應(yīng)用。
如函數(shù)y=log0.5|x2-x-12|單調(diào)區(qū)間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時(shí)，x=-3或x=4，知t函數(shù)的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點(diǎn)是x=-3或x=4并開口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉(zhuǎn)到x軸上方，再考慮對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可。
又如：判定方程3x2+6x=1x的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，該方程實(shí)根個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)y=3x2+6x與y=1/x圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)便一目了然。
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3將映射概念下放
就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實(shí)質(zhì)的只有“對應(yīng)說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應(yīng)說”的定義，可有以下優(yōu)點(diǎn)：⑴體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，也顯示出時(shí)代信息，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。
�、仆癸@數(shù)學(xué)內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實(shí)性，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。
�、亲兂橄駜�(nèi)容形像化，替換后學(xué)生會感到函數(shù)概念不再那么抽像難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。
學(xué)生就會感到函數(shù)不再那么可怕，它無非是一種映射。
只需將集合論的初步知識下放一些即可，學(xué)生完全能夠接受，因?yàn)閺男W(xué)第一學(xué)段就已接觸到集合的表示方法，第二學(xué)段已接觸到集合的運(yùn)算，沒有必要作過多擔(dān)心。
以前有人提出將概率知識下放的觀點(diǎn)，當(dāng)時(shí)不也有人得出反對意見嗎?可現(xiàn)在不也下放到了小學(xué)嗎?如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學(xué)生易于接受，學(xué)生就不會提出“到底什么是函數(shù)?”這樣的問題。
4區(qū)分函數(shù)與方程
盡管函數(shù)和方程都是反映量與量之間的關(guān)系，可函數(shù)反映的是變量和變量之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化情況，從函數(shù)的角度來看，考慮的是x和y在各自取值范圍內(nèi)，彼此間怎樣相互變化。
而方程反映的是未知量和已知量之間的關(guān)系，等式F(x，y)=0是一個(gè)方程，只有在一定條件下才能確定為一個(gè)函數(shù)，從方程的角度來看，考慮的是x和y選取哪些數(shù)值時(shí)才能使等式成立，另一方面，如果變量x和y的函數(shù)關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=f(x)表示，那就得到一個(gè)方程y-f(x)=0，它們是可以互相轉(zhuǎn)化的，有時(shí)用方程知識去研究函數(shù)，也常用函數(shù)知識去研究方程。
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