不定積分的積分方法論文

　　不定積分的積分方法論文【1】

　　摘 要： 在高職高專院校高等數學的不定積分章節(jié)的學習中，有三種積分方法，分別是第一類換元積分法，第二類換元積分法和分部積分法.部分學生在積分運算中，對積分方法的選擇不知如何著手.針對這種現象，本文對三種積分方法加以總結，以便學生對積分方法能更好地掌握.

　　關鍵詞： 不定積分 換元積分法 分部積分法

　　一、第一類換元積分法

　　定理1(第一類換元積分法)設f(u)具有原函數，u=φ(x)可導，則有換元積分公式

　　f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].

　　第一類換元積分公式實質上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].

　　第一類換元積分公式在運用過程中，應用的關鍵是確定新的積分變量φ(x)，那么如何確定φ(x)?方法有如下兩種.

　　1.通過對所求不定積分中被積函數的觀察，發(fā)現函數中既含有φ(x)又含有φ′(x)，則我們就可以猜測出新的積分變量為φ(x).

　　例如：求dx

　　分析：所求不定積分的被積函數為，因為(lnx)′=，所以我們可以把看做lnx，則新的積分變量φ(x)=lnx.

　　解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C

　　2.通過對所求不定積分的觀察，猜測出所要運用的基本積分公式，基于這個公式確定新的積分變量φ(x).

　　例如：求sin3xdx

　　分析：所求不定積分為sin3xdx，觀察后發(fā)現我們所用的基本積分公式為sinxdx=-cosx+C，但是所求積分的被積函數不是sinx而是sin3x，我們可以把3x看做一個整體，就是新的積分變量φ(x)，即φ(x)=3x.

　　解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C

　　二、第二類換元積分法

　　定理2(第二類換元積分法)設函數x=φ(t)單調，可導，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函數存在，則有換元積分公式

　　f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，

　　其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函數.

　　第二類換元積分公式在何時運用?我認為：重點是解決被積函數中含有“根號”的積分問題.那么在學習中遇到的常見的含有根號的情形有幾種呢?我總結了一下共有四種，分別是：;;;.

　　如何消除被積表達式中的根號?做適當變量替換即可，針對以上四種情形具體替換如下：

　�、� 對，設t=;

　�、� 對，設x=asint;

　�、� 對，設x=atant;

　�、� 對，設x=asect.

　　原來關于x的不定積分轉化為關于t的不定積分，在求得關于t的不定積分后，必須代回原變量.在進行三角函數換元時，可由三角函數邊與角的關系，作三角形，以便于回代.在使用第二類換元法的同時，應注意根據需要，隨時與被積函數的恒等變形、不定積分性質、第一類換元法等結合使用.

　　例如：求dx

　　分析：所求不定積分的被積函數中含有根號，符合上述情形中的第三種，由此我們做替換x=2tant即可.

　　解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C

　　三、分部積分法

　　分部積分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)與v=v(x)都具有連續(xù)導數)

　　分部積分法主要是解決被積函數是兩類不同類型函數乘積的不定積分問題.這里我們所說的函數類型指的是反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數五種基本初等函數.當然在具體應用時被積函數未必是這五種類型，有可能是相似的類型，我們在應用公式前，只需要將所求的不定積分運用其他的積分方法適當變形轉化為這五種函數即可.

　　應用分部積分公式的關鍵是確定公式中的u和v′，如何確定它們?可按照反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數的順序(即“反、對、冪、三、指”的順序)，把排在前面的那類函數選作u，而把排在后面的那類函數選作v′.

　　例如：求xsinxdx

　　分析：不定積分中的被積函數xsinx為兩類不同類型的函數乘積，所以我們就要應用分部積分法，其中u為x，v′為sinx，則u′=1，v=-cosx把上述四項代入公式即可.

　　解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C

　　小結：我們學習以上三種積分方法的目的就是要把我們所計算的不定積分問題轉化為我們所熟悉的基本積分公式來處理，當然，這些積分方法在運用時往往不是單獨使用，大多數情形下都是混合使用，甚至要多次使用.

　　參考文獻：

　　[1]同濟大學，天津大學，浙江大學，重慶大學編.高等數學.高等教育出版社，2004.6，第2版.

　　[2]周金玉.高等數學.北京理工大學出版社，2009.8，第1版.

　　[3]陳傳樟等.數學分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.

　　不定積分計算方法的思考【2】

　　摘 要： 本文通過分析不定積分計算教與學中的困難，提出老師和學生要注意的問題，并對幾種常用方法作了分析。

　　關鍵詞： 不定積分計算 困難 分析 常用方法

　　不定積分是大學數學關于計算問題的一個重要內容，是定積分、重積分、線面積分計算、微分方程求解的基礎。因此，熟練掌握不定積分的計算方法與技巧，對于學好高等數學是十分必要的，然而它的計算卻存在著一定的難度。

　　一、不定積分計算的困難及分析

　　不定積分計算的困難首先是由其概念本身帶來的，因為從求導的逆運算引進，造成了它的計算是非構造性的一類運算，它與求導相比有著顯著的不同，求導有一定的公式可套，但求不定積分并非如此。

　　不定積分計算的困難還在于錯誤的思考方法，對于學生來說，解題往往通過“猜”的方式，猜原函數，這顯然相當的困難;在老師方面，不定積分的教學也是一個難點，老師的任務是理出方法，教會學生如何理解方法，而不是憑感覺。

　　現實存在的問題有兩個：一是當在指定讓學生用哪種方法解決時，學生可以做到，但如果把方法混在一起，學生往往不知道用哪種方法;二是在當時學生會解決的題目，時間久了，學生就忘記了。原因都在于學生沒有真正理解透各種方法的本質特點，面對問題時，不知道怎么根據其特征選擇適當的方法。

　　二、不定積分計算的方法思考

　　在介紹積分方法時，老師首先應提醒學生注意被積函數的多樣性，而不同類型的被積函數就需要不同的積分方法來解決，對于一個給定的f(x)，要求f(x)dx，這是一個未知的問題，從宏觀上說我們要將未知的問題轉化為已學知識來討論。那么就存在兩個問題：已知的是什么?怎么轉化過去?

　　課本根據求導與不定積分的關系由基本求導公式給出了積分基本公式，它們可以作為已知的知識，那么不能直接由積分公式解決的問題，就要通過幾種轉化方法轉化到現有的公式上，轉化的依據要根據被積函數的結構和轉化方法的特點。常用方法有以下幾種。

　　1.基本變形。這個方法是由不定積分的性質線性引出的，只要做恒等變形就可以將要求的不定積分轉化到基本積分公式中去，它的特點就是多個變單個。

　　2.湊微分法。顧名思義，關鍵在于一個“湊”字，如果能想到如何“湊”，則題目會迎刃而解，若想不到方法，則會無處入手。因此，歸納并熟記常用的湊微分公式是十分必要的。

　　老師在講解這個方法的時候可以先通過幾個簡單的湊微分的例子引出湊微分這個方法，以形象地觀察出湊微分法的本質、特點，書上給出的定理是比較抽象的，在對其證明中，可以采取比較通俗的方式，如：要驗證f[φ(x)]・φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立，只要驗證(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]・φ′(x)是否成立。

　　如果成立，則證明了該定理，也證明了前幾個例子的做法是正確的。再結合例子和定理歸納出湊微分法的特點就是“變元再協同”。

　　有些例題要“湊”多次，老師可以舉相關例題讓學生充分體會湊微元法的本質特點是變元再協同中的“再”，總的來說湊微元法就是一個“變元再協同”的過程。

　　3.變量代換法。從被積函數中會發(fā)現一些難以處理的因式，使用湊微元怎么也協同不了，在講解這個方法的時候可以先舉幾個這樣的例子，告訴學生思考這個問題的方法，多列幾個學生就會知道想辦法去掉難以處理的因式，當然是有多種代換方法的。在學生接受了這種思路后再給出定理，證明手段類似湊微元的證明。

　　例1：求.

　　思路一：被積函數中既有x，又含有x，所以我們想辦法通過變元都協同到x上，然后再觀察，再協同。

　　解一：===

　　=d=d

　　=arctan+C

　　思路二：考慮被積函數中含有根號，想辦法去掉根號，使用三角代換很容易將其算出。

　　觀察這兩種方法的各自特點，第一種思路它比較難想到，但計算起來比較簡單，第二種方法它雖然操作起來相對麻煩一些，但指向性非常明確。

　　三角換元法一般是把被積函數中含有的，分別用x=asint，x=atant，x=asect做變換去掉根式，沒有太多的技巧，但是有些含有這樣根式的不定積分不需要采取變量代換的方法，例如xdx，dx，被積函數中含有了比較難處理的因式，而變量代換就是起到一個去掉難處理的因式的作用，但在有些題目中只要用湊微元做就可以了，提醒學生不要犯教條。

　　4.分部積分。其基本公式為udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu較易的題目。在運用分部積分法關鍵是u與dv的選取，掌握此方法的一個關鍵在于你要對哪個求導，du是一個局部求導，求導之后要方便運算才有意義。

　　例2：求xedx.

　　分析：被積函數是指數函數e與三角函數x的乘積，用分部積分有兩種方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一種方案是對e局部求導，而我們知道對它求導還是本身，所以解決不了根本問題，所以學生在做題的時候要思考到底對誰局部求導能達到目的，這題中對x局部求導就可以去掉這個因式，所以選擇第二種方案。

　　這部分內容的學習要求我們要對各類積分法進行總結比較，分析各類積分方法的特征，達到掌握并熟練運用的目的。

　　參考文獻：

　　[1]華東師范大學數學系編.數學分析(上冊)[M].高等教育出版社，1990.

　　[2]仉志余.大學數學應用教程(上冊)[M].北京大學出版社，2006.8.

　　[3]夏磊.不定積分在高職教學中的教學淺析[J].教育研究與實踐，2008，(12).