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高中數(shù)學新課程中的向量及其教學論文
摘要：向量具有豐富的物理背景，向量既是幾何的研究對象，又是代數(shù)的研究對象，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁，是重要的數(shù)學模型。在高中數(shù)學中學習向量有助于學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活和其他學科的聯(lián)系，理解數(shù)學運算的意義及價值，發(fā)展運算能力，掌握處理幾何問題的一種方法，體會數(shù)形結(jié)合思想，增進對數(shù)學本質(zhì)的理解。向量的教學應突出物理背景，注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義，關(guān)注向量在物理、數(shù)學、現(xiàn)代科學技術(shù)中的應用。
關(guān)鍵詞：數(shù)學新課程；向量；教學
向量是高中數(shù)學新課程中的重要內(nèi)容。《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）中，在必修課程（數(shù)學4）、選修課程（系列2—1）中分別設置了平面向量與空間向量的內(nèi)容。筆者在新課程教師培訓和實驗區(qū)聽課中了解到，相當一部分數(shù)學教師認為高中數(shù)學課程中的向量主要是作為解決幾何問題的一種工具，以簡化幾何證明。因此，對于向量教學的研究主要集中于向量在解幾何問題中的應用，向量教學的重點放在用向量解幾何問題的技巧上。本文試圖對高中數(shù)學新課程中向量內(nèi)容的定位、向量的教育價值以及向量教學中應注意的幾個問題做一探討。
一、對向量的認識
向量早在19世紀就已成為數(shù)學家和物理學家研究的對象，20世紀初被引入中學數(shù)學。我國在1996年高中數(shù)學教學大綱中引入了向量。這次，《標準》中也設置了向量的內(nèi)容。高中數(shù)學新課程中之所以設置向量的內(nèi)容，是基于以下幾方面的認識。
�。ㄒ唬┫蛄烤哂胸S富的物理背景
矢量是物理學研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。如，力、位移、速度、加速度、動量、電場強度等都是矢量。這些量貫穿于物理學的許多分支，都是數(shù)學中的向量的現(xiàn)實原型，為數(shù)學中的向量提供了豐富的物理背景。
（二）向量是幾何的研究對象
物體的位置和形狀是幾何學的基本研究對象。向量可以表示物體的位置，也是一種幾何圖形（有向線段），因而它成為幾何學的基本研究對象。作為幾何學的研究對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對象及它們的位置關(guān)系；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。
�。ㄈ┫蛄渴谴鷶�(shù)的研究對象
運算及其規(guī)律是代數(shù)學的基本研究對象。向量可以進行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積（點乘）、向量積（叉乘）等多種運算，這些運算及其規(guī)律賦予向量集合特定的結(jié)構(gòu)，使得向量具有一系列豐富的性質(zhì)。向量的運算及其性質(zhì)自然成為代數(shù)學的研究對象。
�。ㄋ模┫蛄渴菧贤ù鷶�(shù)、幾何的橋梁
向量作為有向線段，可用來確定位置。但要用向量刻畫幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何中的長度、角度等度量問題只有有向線段是不夠的，必須通過向量的代數(shù)運算才能實現(xiàn)。如，利用向量的數(shù)乘運算可以刻畫平行，利用向量的數(shù)量積運算可以刻畫垂直、角度、三角函數(shù)等。因此，向量集數(shù)、形于一身，是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)，溝通了代數(shù)、幾何、三角。
�。ㄎ澹┫蛄渴侵匾臄�(shù)學模型
用V表示向量的集合，則V對于向量的加法運算構(gòu)成交換群。（V、R）對于V中向量的加法、實數(shù)域R中的實數(shù)與向量的乘法（數(shù)乘）運算構(gòu)成線性空間。V中向量的數(shù)量積運算可以刻畫向量的長度，給V中的向量賦以長度后，（V、R）對于向量的加法、實數(shù)與向量的乘法運算構(gòu)成線性賦范空間。群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數(shù)學模型，也是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析的重要研究對象。因此，向量為理解抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析提供了基本的數(shù)學模型。
二、向量的教育價值
�。ㄒ唬┯兄趯W生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活以及其他學科的聯(lián)系
向量具有豐富的現(xiàn)實背景和物理背景。向量是刻畫位置的重要數(shù)學工具，在諸如衛(wèi)星定位、飛船設計、可運動機器人設計與操控中有著廣泛的應用。向量也是刻畫物理量──力、位移、速度、加速度等的數(shù)學工具，它體現(xiàn)了數(shù)學與物理的天然聯(lián)系。力、位移、速度、加速度這些物理量在實際生活中是隨處可見的。因此，向量的學習，有助于學生認識數(shù)學與實際生活以及物理等學科的緊密聯(lián)系，體會向量在刻畫和解決實際問題中的作用，從中感受數(shù)學的應用價值。
�。ǘ┯兄趯W生理解數(shù)學運算的意義及價值，發(fā)展運算能力
向量作為代數(shù)對象，可以進行運算。運算對象的不斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索。數(shù)運算，字母、多項式運算，向量運算，函數(shù)、映射、變換運算，矩陣運算等是數(shù)學中的基本運算。從數(shù)運算，字母、多項式運算到向量運算，是運算的一次飛躍。數(shù)運算、多項式運算都是A×A→A型的代數(shù)運算，數(shù)與多項式的運算屬于A×B→B型的代數(shù)運算，而向量運算除了前兩種類型的運算，還有數(shù)量積運算，它屬于A×A→B型的代數(shù)運算。向量的數(shù)量積運算可以刻畫向量的長度，從而使得我們可以通過向量的代數(shù)運算刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。向量運算更加清晰地展現(xiàn)了不同類型的代數(shù)運算的特征及其功能，同時，向量運算具有與數(shù)運算不同的一些運算律，這對于學生進一步理解其他數(shù)學運算、發(fā)展學生的運算能力具有基礎(chǔ)作用。向量的學習，有助于學生進一步體會數(shù)學運算的意義以及運算在建構(gòu)數(shù)學系統(tǒng)中的作用，為理解函數(shù)、映射、變換運算，矩陣運算等奠定了基礎(chǔ)。
�。ㄈ┯兄趯W生掌握處理幾何問題的代數(shù)方法，體會數(shù)形結(jié)合思想
向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象。作為代數(shù)對象，向量可以進行運算。作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。運用向量刻畫幾何對象和幾何度量問題都是通過向量的代數(shù)運算來實現(xiàn)的。因此，向量提供了一種通過代數(shù)運算刻畫幾何對象及其位置關(guān)系以及幾何度量問題的工具。向量集數(shù)形于一身，是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁。向量的學習，有助于學生掌握處理幾何問題的代數(shù)方法，體會數(shù)形結(jié)合的思想。
�。ㄋ模┯兄谠鲞M學生對數(shù)學本質(zhì)的理解
向量是重要的數(shù)學模型，它來源于力、位移、速度等現(xiàn)實原型。向量及其運算構(gòu)成的數(shù)學系統(tǒng)又為群、線性空間、線性賦范空間等抽象數(shù)學系統(tǒng)提供了原型。向量的運算使得向量的集合具有特定的數(shù)學結(jié)構(gòu)。如，引入向量的加法后，向量連同其加法運算一起構(gòu)成群結(jié)構(gòu)；引入數(shù)與向量的乘法后，向量連同加法、數(shù)乘運算一起構(gòu)成線性空間結(jié)構(gòu)；引入向量的數(shù)量積運算后，向量連同加法、數(shù)乘、數(shù)量積運算一起構(gòu)成線性賦范空間結(jié)構(gòu)。群、線性空間結(jié)構(gòu)是典型的代數(shù)結(jié)構(gòu)。向量的數(shù)量積運算，可以賦予向量以長度，從而產(chǎn)生一種拓撲結(jié)構(gòu)。線性賦范空間是代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓撲結(jié)構(gòu)交叉形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。正是由于這種數(shù)學結(jié)構(gòu)，才使得運用向量的運算刻畫幾何對象及其位置關(guān)系以及幾何度量問題成為可能。因此，向量的學習有助于學生認識數(shù)學概念形成過程中的多層次抽象性以及數(shù)學運算對于建構(gòu)數(shù)學系統(tǒng)、刻畫數(shù)學對象的重要性，進而理解數(shù)學的本質(zhì)。
三、向量教學應注意的問題
基于高中數(shù)學新課程中對向量的定位以及對向量教育價值的分析，向量教學中應注意以下幾個問題。
（一）突出物理背景
向量具有豐富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，這些物理量是學生在日常生活中能夠經(jīng)常感受到的，這為理解向量的概念、向量的運算提供了直觀、現(xiàn)實的背景。在教學中，應注重突出向量的這些物理背景。例如，在引入向量的加法運算時，可以位移的合成為背景，這種方式比較直觀。假設一個人從A位移到B，再從B位移到C，則這兩次位移的結(jié)果就產(chǎn)生了從A到C的位移（如圖1），這個位移是兩次位移確定的總位移，把它看成前兩個位移的和是自然的。這就引入了向量的加法以及加法的三角形法則。有了三角形法則很容易引出平行四邊形法則。在引入數(shù)與向量的乘法運算時，可以位移的倍數(shù)或速度的倍數(shù)為背景。位移與速度的倍數(shù)仍然表示位移與速度，這樣可使學生對于數(shù)與向量的數(shù)乘運算的結(jié)果仍然是一個向量有直觀的認識。在引入向量的數(shù)量積運算時，可以力做的功為背景。一個物體受到力F的作用，如果在力的作用方向上發(fā)生一段位移S，我們就說這個力對物體做了功。如果力Ｆ的方向與位移S的方向相同，則功的大小就等于力Ｆ的大小與位移S大小的乘積，即│F‖S│。如果力F的方向與位移S的方向成θ角（如圖2），則與位移S方向相同的分力為F1＝Fcos θ，物體在力Ｆ1的方向上產(chǎn)生了位移S，因而對物體做的功為│F‖S│cos θ�？傊λ龅墓κ且粋�標量，它是由兩個向量──力和位移所決定的，這正是向量的數(shù)量積的意義。在引入向量的一些運算律時，也可以力做功為背景。當力擴大λ倍時，力所做的功也相應擴大λ倍，兩個力的合力所做的功等于這兩個力分別所做的功的和。由此可引出，向量的數(shù)乘運算與數(shù)量積運算滿足結(jié)合律：（λa）b＝λ（ab），向量的數(shù)量積運算對于向量的加法運算滿足分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。
圖 1 圖 2
�。ǘ┳⒅叵蛄康拇鷶�(shù)性質(zhì)及其幾何意義
向量的代數(shù)性質(zhì)主要表現(xiàn)在向量的運算及其運算律方面。運算是貫穿于中學數(shù)學中的一條主線，學生最先學習的運算是數(shù)的運算，向量的運算與數(shù)運算既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如，向量的加法運算與數(shù)的加法運算從代數(shù)運算的角度看是一致的，都是A×A→A型的運算。但是，向量的加法運算的法則是三角形或平行四邊形法則，這與數(shù)的加法運算的法則不同。向量的數(shù)乘運算不同于數(shù)的乘法運算，它擴展了運算的對象與運算的類型，屬于A×B→B型的運算。向量的數(shù)量積運算也不同于數(shù)的乘法運算，它是A×A→B型的運算。
在向量的教學中，應關(guān)注運算的意義和運算律。運算與運算律賦予向量集特定的結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生群、線性空間、線性賦范空間等不同的數(shù)學模型。例如，向量集Ｖ對于向量的加法（＋）運算滿足結(jié)合律、交換律、有零元（存在零向量）、有負元（每個向量都有與其方向相反、長度相等的向量），這是構(gòu)成交換群的基本性質(zhì)；V中向量的加法、實數(shù)域R中的實數(shù)與向量的數(shù)乘運算滿足數(shù)乘對向量加法的分配律（λ（a＋b）＝λa＋λb）、數(shù)乘對數(shù)加法的分配律（（λ＋γ）a＝λa＋γa）、數(shù)乘運算的結(jié)合律（（λγ）a＝λ（γa））等，這是構(gòu)成線性空間的基本性質(zhì)。在教學中，應引導學生在具體運算的基礎(chǔ)上總結(jié)這些運算律，認識這些運算律對于研究向量和運用向量解決問題以及建構(gòu)數(shù)學體系的重要意義。
在向量的教學中，特別要重視向量的數(shù)乘運算、數(shù)量積運算與數(shù)的乘法運算的區(qū)別與聯(lián)系，應將向量的運算及運算律與數(shù)的運算及運算律進行比較，幫助學生理解向量運算的意義及其運算律，為進一步理解其他代數(shù)運算奠定基礎(chǔ)。例如，對于數(shù)運算來說，0是唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“單位元”。對于向量的加法運算來說，零向量0也是唯一的加法“零元”，對于任何向量a，0＋a＝a。但是向量的數(shù)乘運算與數(shù)量積運算則具有不同于數(shù)運算的運算律：對于任何向量a，0a＝0，1a＝a，0a＝0。雖然也有單位向量的概念，但單位向量不是數(shù)量積運算的單位元，即ea≠a，而且單位向量也不唯一。若把單位向量的起點放在同一點，則所有單位向量構(gòu)成一個單位圓（球）；數(shù)的乘法運算滿足結(jié)合律、消去律，即對于任何數(shù)a、b、c，（ab）c＝a（bc），若ab＝ac，且a≠0，則b＝c。對于向量的數(shù)量積運算來說，（ab）c≠a（bc）。這是因為，ab，bc都是實數(shù)，（ab）c是與c方向相同或相反的向量，a（bc）是與a方向相同或相反的向量，而a與c不一定共線，即使共線，（ab）c與a（bc）也不一定相等。若向量a、b、c是三個互相垂直的非零向量，則ab＝ac＝0，且a≠0，但b≠c。因此，向量的數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律、消去律。在教學中，應讓學生明確向量運算與數(shù)運算的這些區(qū)別，這樣才能對向量運算乃至代數(shù)運算有深入的認識。
在向量的教學中，還應注意揭示向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義。向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義對于運用向量刻畫幾何對象是非常重要的。例如，向量數(shù)乘運算λa的幾何意義是與a平行的向量，也可以表示一點和一個方向向量a所確定的直線，兩個不共線向量a與b的線性組合λa＋γb表示向量a與b所確定的平面。這就把向量的線性運算與直線、平面聯(lián)系起來了。aa的幾何意義就是向量a的長度的平方，這就把向量的數(shù)量積運算與向量的長度聯(lián)系起來，從而，也就把向量的數(shù)量積運算與兩點間的距離公式聯(lián)系起來了。ab＝0的幾何意義是向量a與b垂直，這就把向量的數(shù)量積運算與向量的位置關(guān)系聯(lián)系起來，從而，也就把向量的數(shù)量積運算與直線的位置關(guān)系以及點到直線的距離聯(lián)系起來了。設e是單位向量，則ae表示向量a在單位向量e上的投影的長度，這就把向量的數(shù)量積運算與向量夾角的三角函數(shù)聯(lián)系起來了。在教學中，應幫助學生將向量代數(shù)運算與它的幾何意義聯(lián)系起來，這樣才能運用向量代數(shù)性質(zhì)更好地刻畫幾何對象，從而體會代數(shù)與幾何的聯(lián)系。
�。ㄈ╆P(guān)注向量在物理、數(shù)學、現(xiàn)代科學技術(shù)中的應用
物理中的矢量是向量的原型，向量及其運算是物理中矢量及其運算的抽象。因此，向量在物理中有廣泛應用是不言而喻的。在教學中，應引導學生有意識地運用向量及其運算的性質(zhì)刻畫和解決物理學科中的問題。
向量在數(shù)學中有著廣泛的應用，向量及其代數(shù)運算可以刻畫幾何對象以及幾何度量問題，可以表示三角函數(shù)、證明三角函數(shù)的公式，可以表示重要的不等式。例如，向量的線性運算可以刻畫直線與平面以及平行、共面等關(guān)系，向量的數(shù)量積運算可以刻畫角度、長度、面積、體積等幾何度量問題以及相交、垂直等關(guān)系；運用向量的數(shù)量積也可以定義三角函數(shù)（設（e1，e2）是平面上的標準正交基，a是平面上的向量，a與e1的夾角為α，則可以定義三角函數(shù)如下：，運用向量的數(shù)量積也很容易推導出兩角差的余弦公式cos（α—β）＝cos αcos β＋sin αsin β；向量的數(shù)量積還蘊涵著一個重要的不等關(guān)系ab≤|a||b|，這個不等關(guān)系可用來證明數(shù)學中的許多不等式。向量在機器人設計與操控、衛(wèi)星定位、飛船設計等現(xiàn)代技術(shù)中也有著廣泛的應用。因此，在向量的教學中，應注意體現(xiàn)向量在物理、數(shù)學、現(xiàn)代科學技術(shù)中的廣泛應用性。特別應注意不能把向量的應用只局限在解決幾何問題中。向量是解決幾何問題的一種有效工具，但高中數(shù)學新課程中設置向量內(nèi)容有著更為廣泛的目的，而不僅僅是為了解決幾何問題、簡化幾何證明。
參考文獻：
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