高中數(shù)學(xué)新課程中的向量及其教學(xué)論文

　　摘要：向量具有豐富的物理背景，向量既是幾何的研究對(duì)象，又是代數(shù)的研究對(duì)象，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁，是重要的數(shù)學(xué)模型。在高中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)向量有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義及價(jià)值，發(fā)展運(yùn)算能力，掌握處理幾何問題的一種方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。向量的教學(xué)應(yīng)突出物理背景，注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義，關(guān)注向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)新課程；向量；教學(xué)

　　向量是高中數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容�！镀胀ǜ咧袛�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中，在必修課程（數(shù)學(xué)4）、選修課程（系列2—1）中分別設(shè)置了平面向量與空間向量的內(nèi)容。筆者在新課程教師培訓(xùn)和實(shí)驗(yàn)區(qū)聽課中了解到，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師認(rèn)為高中數(shù)學(xué)課程中的向量主要是作為解決幾何問題的一種工具，以簡化幾何證明。因此，對(duì)于向量教學(xué)的研究主要集中于向量在解幾何問題中的應(yīng)用，向量教學(xué)的重點(diǎn)放在用向量解幾何問題的技巧上。本文試圖對(duì)高中數(shù)學(xué)新課程中向量內(nèi)容的定位、向量的教育價(jià)值以及向量教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題做一探討。

　　一、對(duì)向量的認(rèn)識(shí)

　　向量早在19世紀(jì)就已成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的對(duì)象，20世紀(jì)初被引入中學(xué)數(shù)學(xué)。我國在1996年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中引入了向量。這次，《標(biāo)準(zhǔn)》中也設(shè)置了向量的內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)新課程中之所以設(shè)置向量的內(nèi)容，是基于以下幾方面的認(rèn)識(shí)。

　�。ㄒ唬┫蛄烤哂胸S富的物理背景

　　矢量是物理學(xué)研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。如，力、位移、速度、加速度、動(dòng)量、電場強(qiáng)度等都是矢量。這些量貫穿于物理學(xué)的許多分支，都是數(shù)學(xué)中的向量的現(xiàn)實(shí)原型，為數(shù)學(xué)中的向量提供了豐富的物理背景。

　�。ǘ�）向量是幾何的研究對(duì)象

　　物體的位置和形狀是幾何學(xué)的基本研究對(duì)象。向量可以表示物體的位置，也是一種幾何圖形（有向線段），因而它成為幾何學(xué)的基本研究對(duì)象。作為幾何學(xué)的研究對(duì)象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對(duì)象及它們的位置關(guān)系；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。

　�。ㄈ�）向量是代數(shù)的研究對(duì)象

　　運(yùn)算及其規(guī)律是代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象。向量可以進(jìn)行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積（點(diǎn)乘）、向量積（叉乘）等多種運(yùn)算，這些運(yùn)算及其規(guī)律賦予向量集合特定的結(jié)構(gòu)，使得向量具有一系列豐富的性質(zhì)。向量的運(yùn)算及其性質(zhì)自然成為代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。

　�。ㄋ模┫蛄渴菧贤ù鷶�(shù)、幾何的橋梁

　　向量作為有向線段，可用來確定位置。但要用向量刻畫幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何中的長度、角度等度量問題只有有向線段是不夠的，必須通過向量的代數(shù)運(yùn)算才能實(shí)現(xiàn)。如，利用向量的數(shù)乘運(yùn)算可以刻畫平行，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫垂直、角度、三角函數(shù)等。因此，向量集數(shù)、形于一身，是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)，溝通了代數(shù)、幾何、三角。

　　（五）向量是重要的數(shù)學(xué)模型

　　用V表示向量的集合，則V對(duì)于向量的加法運(yùn)算構(gòu)成交換群。（V、R）對(duì)于V中向量的加法、實(shí)數(shù)域R中的實(shí)數(shù)與向量的乘法（數(shù)乘）運(yùn)算構(gòu)成線性空間。V中向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫向量的長度，給V中的向量賦以長度后，（V、R）對(duì)于向量的加法、實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算構(gòu)成線性賦范空間。群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數(shù)學(xué)模型，也是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析的重要研究對(duì)象。因此，向量為理解抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析提供了基本的數(shù)學(xué)模型。

　　二、向量的教育價(jià)值

　�。ㄒ唬┯兄�于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系

　　向量具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景和物理背景。向量是刻畫位置的重要數(shù)學(xué)工具，在諸如衛(wèi)星定位、飛船設(shè)計(jì)、可運(yùn)動(dòng)機(jī)器人設(shè)計(jì)與操控中有著廣泛的應(yīng)用。向量也是刻畫物理量──力、位移、速度、加速度等的數(shù)學(xué)工具，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的天然聯(lián)系。力、位移、速度、加速度這些物理量在實(shí)際生活中是隨處可見的。因此，向量的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活以及物理等學(xué)科的緊密聯(lián)系，體會(huì)向量在刻畫和解決實(shí)際問題中的作用，從中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

　�。ǘ�）有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義及價(jià)值，發(fā)展運(yùn)算能力

　　向量作為代數(shù)對(duì)象，可以進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。數(shù)運(yùn)算，字母、多項(xiàng)式運(yùn)算，向量運(yùn)算，函數(shù)、映射、變換運(yùn)算，矩陣運(yùn)算等是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算。從數(shù)運(yùn)算，字母、多項(xiàng)式運(yùn)算到向量運(yùn)算，是運(yùn)算的一次飛躍。數(shù)運(yùn)算、多項(xiàng)式運(yùn)算都是A×A→A型的代數(shù)運(yùn)算，數(shù)與多項(xiàng)式的運(yùn)算屬于A×B→B型的代數(shù)運(yùn)算，而向量運(yùn)算除了前兩種類型的運(yùn)算，還有數(shù)量積運(yùn)算，它屬于A×A→B型的代數(shù)運(yùn)算。向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫向量的長度，從而使得我們可以通過向量的代數(shù)運(yùn)算刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。向量運(yùn)算更加清晰地展現(xiàn)了不同類型的代數(shù)運(yùn)算的特征及其功能，同時(shí)，向量運(yùn)算具有與數(shù)運(yùn)算不同的一些運(yùn)算律，這對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解其他數(shù)學(xué)運(yùn)算、發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力具有基礎(chǔ)作用。向量的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義以及運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用，為理解函數(shù)、映射、變換運(yùn)算，矩陣運(yùn)算等奠定了基礎(chǔ)。

　�。ㄈ�）有助于學(xué)生掌握處理幾何問題的代數(shù)方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想

　　向量既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象，向量可以進(jìn)行運(yùn)算。作為幾何對(duì)象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對(duì)象；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。運(yùn)用向量刻畫幾何對(duì)象和幾何度量問題都是通過向量的代數(shù)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的。因此，向量提供了一種通過代數(shù)運(yùn)算刻畫幾何對(duì)象及其位置關(guān)系以及幾何度量問題的工具。向量集數(shù)形于一身，是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁。向量的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生掌握處理幾何問題的代數(shù)方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

　�。ㄋ模┯兄�于增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

　　向量是重要的數(shù)學(xué)模型，它來源于力、位移、速度等現(xiàn)實(shí)原型。向量及其運(yùn)算構(gòu)成的數(shù)學(xué)系統(tǒng)又為群、線性空間、線性賦范空間等抽象數(shù)學(xué)系統(tǒng)提供了原型。向量的運(yùn)算使得向量的集合具有特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如，引入向量的加法后，向量連同其加法運(yùn)算一起構(gòu)成群結(jié)構(gòu)；引入數(shù)與向量的乘法后，向量連同加法、數(shù)乘運(yùn)算一起構(gòu)成線性空間結(jié)構(gòu)；引入向量的數(shù)量積運(yùn)算后，向量連同加法、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算一起構(gòu)成線性賦范空間結(jié)構(gòu)。群、線性空間結(jié)構(gòu)是典型的代數(shù)結(jié)構(gòu)。向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以賦予向量以長度，從而產(chǎn)生一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。線性賦范空間是代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)交叉形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。正是由于這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，才使得運(yùn)用向量的運(yùn)算刻畫幾何對(duì)象及其位置關(guān)系以及幾何度量問題成為可能。因此，向量的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念形成過程中的多層次抽象性以及數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)于建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)、刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的重要性，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

　　三、向量教學(xué)應(yīng)注意的問題

　　基于高中數(shù)學(xué)新課程中對(duì)向量的定位以及對(duì)向量教育價(jià)值的分析，向量教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問題。

　�。ㄒ唬┩怀鑫锢肀尘�

　　向量具有豐富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，這些物理量是學(xué)生在日常生活中能夠經(jīng)常感受到的，這為理解向量的概念、向量的運(yùn)算提供了直觀、現(xiàn)實(shí)的背景。在教學(xué)中，應(yīng)注重突出向量的這些物理背景。例如，在引入向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以位移的合成為背景，這種方式比較直觀。假設(shè)一個(gè)人從A位移到B，再從B位移到C，則這兩次位移的結(jié)果就產(chǎn)生了從A到C的位移（如圖1），這個(gè)位移是兩次位移確定的總位移，把它看成前兩個(gè)位移的和是自然的。這就引入了向量的加法以及加法的三角形法則。有了三角形法則很容易引出平行四邊形法則。在引入數(shù)與向量的乘法運(yùn)算時(shí)，可以位移的倍數(shù)或速度的倍數(shù)為背景。位移與速度的倍數(shù)仍然表示位移與速度，這樣可使學(xué)生對(duì)于數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)向量有直觀的認(rèn)識(shí)。在引入向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，可以力做的功為背景。一個(gè)物體受到力F的作用，如果在力的作用方向上發(fā)生一段位移S，我們就說這個(gè)力對(duì)物體做了功。如果力Ｆ的方向與位移S的方向相同，則功的大小就等于力Ｆ的大小與位移S大小的乘積，即│F‖S│。如果力F的方向與位移S的方向成θ角（如圖2），則與位移S方向相同的分力為F1＝Fcos θ，物體在力Ｆ1的方向上產(chǎn)生了位移S，因而對(duì)物體做的功為│F‖S│cos θ�？傊�，力所做的功是一個(gè)標(biāo)量，它是由兩個(gè)向量──力和位移所決定的，這正是向量的數(shù)量積的意義。在引入向量的一些運(yùn)算律時(shí)，也可以力做功為背景。當(dāng)力擴(kuò)大λ倍時(shí)，力所做的功也相應(yīng)擴(kuò)大λ倍，兩個(gè)力的合力所做的功等于這兩個(gè)力分別所做的功的和。由此可引出，向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算滿足結(jié)合律：（λa）b＝λ（ab），向量的數(shù)量積運(yùn)算對(duì)于向量的加法運(yùn)算滿足分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。

　　圖 1 圖 2

　　（二）注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義

　　向量的代數(shù)性質(zhì)主要表現(xiàn)在向量的運(yùn)算及其運(yùn)算律方面。運(yùn)算是貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)中的一條主線，學(xué)生最先學(xué)習(xí)的運(yùn)算是數(shù)的運(yùn)算，向量的運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如，向量的加法運(yùn)算與數(shù)的加法運(yùn)算從代數(shù)運(yùn)算的角度看是一致的，都是A×A→A型的運(yùn)算。但是，向量的加法運(yùn)算的法則是三角形或平行四邊形法則，這與數(shù)的加法運(yùn)算的法則不同。向量的數(shù)乘運(yùn)算不同于數(shù)的乘法運(yùn)算，它擴(kuò)展了運(yùn)算的對(duì)象與運(yùn)算的類型，屬于A×B→B型的運(yùn)算。向量的數(shù)量積運(yùn)算也不同于數(shù)的乘法運(yùn)算，它是A×A→B型的運(yùn)算。

　　在向量的教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注運(yùn)算的意義和運(yùn)算律。運(yùn)算與運(yùn)算律賦予向量集特定的結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生群、線性空間、線性賦范空間等不同的數(shù)學(xué)模型。例如，向量集Ｖ對(duì)于向量的加法（＋）運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律、有零元（存在零向量）、有負(fù)元（每個(gè)向量都有與其方向相反、長度相等的向量），這是構(gòu)成交換群的基本性質(zhì)；V中向量的加法、實(shí)數(shù)域R中的實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足數(shù)乘對(duì)向量加法的分配律（λ（a＋b）＝λa＋λb）、數(shù)乘對(duì)數(shù)加法的分配律（（λ＋γ）a＝λa＋γa）、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律（（λγ）a＝λ（γa））等，這是構(gòu)成線性空間的基本性質(zhì)。在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在具體運(yùn)算的基礎(chǔ)上總結(jié)這些運(yùn)算律，認(rèn)識(shí)這些運(yùn)算律對(duì)于研究向量和運(yùn)用向量解決問題以及建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的重要意義。

　　在向量的教學(xué)中，特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的乘法運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)將向量的運(yùn)算及運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算律進(jìn)行比較，幫助學(xué)生理解向量運(yùn)算的意義及其運(yùn)算律，為進(jìn)一步理解其他代數(shù)運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。例如，對(duì)于數(shù)運(yùn)算來說，0是唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“單位元”。對(duì)于向量的加法運(yùn)算來說，零向量0也是唯一的加法“零元”，對(duì)于任何向量a，0＋a＝a。但是向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算則具有不同于數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律：對(duì)于任何向量a，0a＝0，1a＝a，0a＝0。雖然也有單位向量的概念，但單位向量不是數(shù)量積運(yùn)算的單位元，即ea≠a，而且單位向量也不唯一。若把單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則所有單位向量構(gòu)成一個(gè)單位圓（球）；數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律、消去律，即對(duì)于任何數(shù)a、b、c，（ab）c＝a（bc），若ab＝ac，且a≠0，則b＝c。對(duì)于向量的數(shù)量積運(yùn)算來說，（ab）c≠a（bc）。這是因?yàn)�，ab，bc都是實(shí)數(shù)，（ab）c是與c方向相同或相反的向量，a（bc）是與a方向相同或相反的向量，而a與c不一定共線，即使共線，（ab）c與a（bc）也不一定相等。若向量a、b、c是三個(gè)互相垂直的非零向量，則ab＝ac＝0，且a≠0，但b≠c。因此，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律、消去律。在教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生明確向量運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算的這些區(qū)別，這樣才能對(duì)向量運(yùn)算乃至代數(shù)運(yùn)算有深入的認(rèn)識(shí)。

　　在向量的教學(xué)中，還應(yīng)注意揭示向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義。向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義對(duì)于運(yùn)用向量刻畫幾何對(duì)象是非常重要的。例如，向量數(shù)乘運(yùn)算λa的幾何意義是與a平行的向量，也可以表示一點(diǎn)和一個(gè)方向向量a所確定的直線，兩個(gè)不共線向量a與b的線性組合λa＋γb表示向量a與b所確定的平面。這就把向量的線性運(yùn)算與直線、平面聯(lián)系起來了。aa的幾何意義就是向量a的長度的平方，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的長度聯(lián)系起來，從而，也就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與兩點(diǎn)間的距離公式聯(lián)系起來了。ab＝0的幾何意義是向量a與b垂直，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的位置關(guān)系聯(lián)系起來，從而，也就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離聯(lián)系起來了。設(shè)e是單位向量，則ae表示向量a在單位向量e上的投影的長度，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量夾角的三角函數(shù)聯(lián)系起來了。在教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生將向量代數(shù)運(yùn)算與它的幾何意義聯(lián)系起來，這樣才能運(yùn)用向量代數(shù)性質(zhì)更好地刻畫幾何對(duì)象，從而體會(huì)代數(shù)與幾何的聯(lián)系。

　�。ㄈ�）關(guān)注向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用

　　物理中的矢量是向量的原型，向量及其運(yùn)算是物理中矢量及其運(yùn)算的抽象。因此，向量在物理中有廣泛應(yīng)用是不言而喻的。在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用向量及其運(yùn)算的性質(zhì)刻畫和解決物理學(xué)科中的問題。

　　向量在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，向量及其代數(shù)運(yùn)算可以刻畫幾何對(duì)象以及幾何度量問題，可以表示三角函數(shù)、證明三角函數(shù)的公式，可以表示重要的不等式。例如，向量的線性運(yùn)算可以刻畫直線與平面以及平行、共面等關(guān)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫角度、長度、面積、體積等幾何度量問題以及相交、垂直等關(guān)系；運(yùn)用向量的數(shù)量積也可以定義三角函數(shù)（設(shè)（e1，e2）是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a是平面上的向量，a與e1的夾角為α，則可以定義三角函數(shù)如下：，運(yùn)用向量的數(shù)量積也很容易推導(dǎo)出兩角差的余弦公式cos（α—β）＝cos αcos β＋sin αsin β；向量的數(shù)量積還蘊(yùn)涵著一個(gè)重要的不等關(guān)系ab≤|a||b|，這個(gè)不等關(guān)系可用來證明數(shù)學(xué)中的許多不等式。向量在機(jī)器人設(shè)計(jì)與操控、衛(wèi)星定位、飛船設(shè)計(jì)等現(xiàn)代技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用。因此，在向量的教學(xué)中，應(yīng)注意體現(xiàn)向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的廣泛應(yīng)用性。特別應(yīng)注意不能把向量的應(yīng)用只局限在解決幾何問題中。向量是解決幾何問題的一種有效工具，但高中數(shù)學(xué)新課程中設(shè)置向量內(nèi)容有著更為廣泛的目的，而不僅僅是為了解決幾何問題、簡化幾何證明。

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