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復(fù)變函數(shù)課程的有效教學(xué)策略
復(fù)變函數(shù)課程的有效教學(xué)策略
摘 要： 復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本、專科的一門重要基礎(chǔ)課程。
復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)定理多，概念抽象，學(xué)習(xí)難點多，由于受傳統(tǒng)教學(xué)模式的制約，歷來都存在難教難學(xué)的問題。
作者結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)歷，就在教學(xué)中如何改革教學(xué)模式，進一步提高教學(xué)效率，讓學(xué)生全面系統(tǒng)地理解和掌握復(fù)變函數(shù)的理論和方法，并提出教學(xué)策略。
關(guān)鍵詞： 復(fù)變函數(shù) 重點 難點 教學(xué)策略
引言
復(fù)變函數(shù)課程是高等師范大學(xué)和綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)本、�？频囊婚T重要基礎(chǔ)課。
復(fù)變函數(shù)論主要研究對象是解析函數(shù)，是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，是實變函數(shù)微積分理論的推廣和發(fā)展;復(fù)變函數(shù)論又稱復(fù)分析，它不僅在內(nèi)容上與實變函數(shù)微積分有許多類似之處，而且在研究問題方面與邏輯結(jié)構(gòu)方面非常類似。
復(fù)變函數(shù)論不僅是我們所學(xué)數(shù)學(xué)分析的理論推廣，而且作為一種強有力的工具，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)及自動控制學(xué)等，目前被廣泛應(yīng)用于信號處理、電子工程等領(lǐng)域。
作為高師數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程的主講老師，我在多年的教學(xué)實踐中不斷進行深入的思考、探索，積累了一些經(jīng)驗，在教學(xué)模式的改革方面進行了一些嘗試，下面談?wù)勛约旱慕虒W(xué)體會。
1.加強復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識教學(xué)
教材第一章主要講有關(guān)復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的基本概念，雖然學(xué)生在高中學(xué)過復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識，但由于該內(nèi)容不是高考內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)教師對這部分內(nèi)容一般都是略講，大多數(shù)學(xué)生都沒有學(xué)好;而這部分內(nèi)容作為復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識，不僅是復(fù)變函數(shù)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)關(guān)鍵，而且對學(xué)生以后從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)很重要。
以前在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)計劃中，我們把第一章的課時安排為4～6課時，教學(xué)實踐證明這個課時安排不合理，由于課時少，復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識沒學(xué)好，嚴(yán)重影響后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，所以在近幾年的教學(xué)中，我們一般都安排8～10課時，其目的是夯實基礎(chǔ)，深刻理解復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)的有關(guān)概念，相關(guān)方法，重點理解幅角的無窮多值性、區(qū)域的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的幾何表示，掌握復(fù)數(shù)的運算方法及復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)的研究方法，為進一步學(xué)習(xí)解析函數(shù)打下良好的基礎(chǔ)。
2.加強知識類比與同化
數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)相關(guān)知識結(jié)構(gòu)對比：
從上面我們可以看出數(shù)學(xué)分析和復(fù)變函數(shù)的一些知識點的關(guān)系，復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，復(fù)變函數(shù)課程中有很多概念、性質(zhì)、定理都是從數(shù)學(xué)分析平移過來的，因此，在復(fù)變函數(shù)教學(xué)時要加強與數(shù)學(xué)分析的聯(lián)系，即利用學(xué)生已有的分析基礎(chǔ)，發(fā)揮知識的遷移作用，促使知識的同化。
在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，通過與數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)知識作對比，可以把數(shù)學(xué)分析中的一些知識延拓到復(fù)變函數(shù)中。
比如數(shù)學(xué)分析中極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分和級數(shù)有關(guān)概念、性質(zhì)和定理都可以延拓到復(fù)變函數(shù)中，這樣可以極大地提高教學(xué)效率，促進學(xué)生對復(fù)變函數(shù)理論與方法的理解和掌握。
例如在講授復(fù)變函數(shù)極限概念的過程中可以與二元是函數(shù)的極限概念對比，利用實極限幫助學(xué)生對復(fù)極限的理解。
復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x，y)+iv(x，y)的實部u(x，y)和虛部v(x，y)都是二元實函數(shù)，可以把復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)分析中的二元函數(shù)的極限問題，利用不等式|u(x，y)|≤|f(z)|，|v(x，y)|≤|f(z)|，|f(z)|≤|u(x，y)|+|v(x，y)|，可以得到結(jié)論：f(z)在一點z=x+iy有極限的充要條件是u(x，y)，v(x，y)這兩個二元實函數(shù)在在該點的極限都存在。
3.抓住重點，注意知識的系統(tǒng)化
雖然復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，但復(fù)變函數(shù)不僅僅是數(shù)學(xué)分析的延拓，還有許多和數(shù)學(xué)分析不同的概念與方法，比如：多值函數(shù)、洛朗級數(shù)與孤立奇點、留數(shù)理論等。
在復(fù)變函數(shù)中學(xué)習(xí)的知識和數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)的知識側(cè)重點也不一樣，比如微分與導(dǎo)數(shù)，數(shù)學(xué)分析主要講微分的概念、意義和計算，而在復(fù)變函數(shù)中，對于微分與導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)及計算是一帶而過，復(fù)變函數(shù)課程重點研究解析函數(shù)。
復(fù)變函數(shù)概念多，性質(zhì)定理多，在教學(xué)過程中，既要抓好雙基的教學(xué)，又要突出重點，更要通過總結(jié)、復(fù)習(xí)等教學(xué)環(huán)節(jié)，順著知識的邏輯結(jié)構(gòu)，理清知識脈絡(luò)，這樣才能讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)理論和方法。
例如：在教學(xué)柯西積分定理這一節(jié)時，柯西積分定理及推廣一共有四個定理，教學(xué)總結(jié)時一定要理順這四個定理的邏輯關(guān)系，即后面的定理包含前面的定理，并指出四個定理的本質(zhì)是：f(z)在由周線(或復(fù)周線)C圍成的區(qū)域內(nèi)解析，并且連續(xù)到邊界，那么?蘩■f(z)dz=0。
在復(fù)習(xí)周線積分?蘩■f(z)dz的計算時，可按下列順序逐步判斷并計算，若f(z)在C內(nèi)不解析，則一般用參數(shù)法計算;若f(z)在C內(nèi)解析且連續(xù)到邊界，由柯西積分定理有?蘩■f(z)dz=0;若f(z)在C內(nèi)有一個奇點，利用柯西積分公式計算;若f(z)在C內(nèi)有多個奇點，則利用柯西留數(shù)定理計算。
4.改革教學(xué)模式，充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段，突破教學(xué)難點
復(fù)變函數(shù)這門課程，歷來都存在難教難學(xué)的問題，其主要原因：一是這門課程內(nèi)容中存在一些較難的知識點。
比如：初等多值函數(shù)、柯西積分定理、解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點等，這些概念、性質(zhì)、定理抽象、思想方法復(fù)雜，學(xué)生難理解難掌握。
二是傳統(tǒng)的教學(xué)模式以教師講授為主，由于板書及語言表述的局限性，不能展現(xiàn)知識的變化過程，嚴(yán)重影響學(xué)生對知識的理解和掌握，滿堂灌的講授更是無法調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。
在教學(xué)中要改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，利用現(xiàn)代媒體技術(shù)積極探索新的教學(xué)模式。
對于復(fù)變函數(shù)中的一些難點，我們一方面要充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段，利用多媒體動態(tài)展示數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程及變化規(guī)律，另一方面要調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生主動參與探究知識的活動，感悟知識的變化過程，掌握應(yīng)用知識解決問題的方法，同時體會到領(lǐng)悟知識的愉悅，這樣就能達到突破教學(xué)難點的目的。
結(jié)語
在復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)設(shè)計中，我們要改革傳統(tǒng)的教學(xué)模式，積極探索有效的教學(xué)模式;用先進的教學(xué)理念指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計，精心設(shè)計教學(xué)過程;在教學(xué)過程中既要讓學(xué)生積極參與知識的探究過程，體驗到學(xué)習(xí)的快樂，又要充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段，突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點，這樣就能實現(xiàn)三位一體的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)的理論和方法。
參考文獻：
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