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小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透一般性數(shù)學(xué)方法的思考教育論文
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“教師應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從根本上講就是為了獲得數(shù)學(xué)的方法和思想，并用以指導(dǎo)工作和生活。
數(shù)學(xué)方法是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導(dǎo)、運(yùn)算與分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法。而一般性數(shù)學(xué)方法作為數(shù)學(xué)方法的一種表現(xiàn)形式，與分類討論法、數(shù)學(xué)歸納法等特殊性數(shù)學(xué)方法相比，它更適用于普遍性、基礎(chǔ)性和一般性的數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域，與小學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知生活化、主體化、個(gè)性化的特點(diǎn)相符合，因此，我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重一般性數(shù)學(xué)方法的教學(xué)滲透，為學(xué)生有效地獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知、形成數(shù)學(xué)思想奠定基礎(chǔ)。一般性數(shù)學(xué)方法的常見類型有合情推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)化歸、數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合等。
一、合情推理———數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法
合情推理是根據(jù)已有事實(shí)和正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程。在解決問題的過程中，合情推理為猜測(cè)、探索提供思路。
1.采用歸納法進(jìn)行合情推理
歸納法是從個(gè)別事實(shí)概括出一般原理的推理方法。例如，在教學(xué)《圓的面積》時(shí)，教師首先呈現(xiàn)以下圖形供學(xué)生觀察后，設(shè)問：請(qǐng)根據(jù)圓與大、小正方形位置和大小的的關(guān)系，猜想圓面積的計(jì)算公式？
生1：圓的面積介于小正方形和大正方形之間。
生2：圓的面積介于2r2和4r2之間。
生3：估計(jì)是3r/2左右。
獲解原問題的方法。
1.通過特殊值法實(shí)現(xiàn)化歸
“特殊值法”，就是求解一個(gè)較一般數(shù)學(xué)問題遇到困難時(shí)，先考慮這個(gè)問題的一種特殊情況，找出一種簡(jiǎn)單情形進(jìn)行解決，利用特例的結(jié)論再來求解一般問題。
例如：求解甲比乙多1/7，乙比甲少幾分之幾？
一般解：根據(jù)條件乙為1，甲為1+1/7；先求乙是甲的幾分之幾？1÷(1+1/7)=7/8；再求乙比甲少幾分之幾，即1-7/8=1/8。條件和問題中單位“1”發(fā)生變化，相應(yīng)甲乙所對(duì)應(yīng)的數(shù)值也隨之變化，學(xué)生解答時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生混淆，容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。
化歸解：根據(jù)條件，先假設(shè)甲為8，乙為7；再求乙比甲少幾分之幾？（8-7）÷8。用特殊值法解，在始終把握基本數(shù)量關(guān)系的前提下，使得復(fù)雜的數(shù)據(jù)換算得以簡(jiǎn)單化。
2.通過語(yǔ)義轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)化歸
一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)式子的最初意義或常用意義容易被固化，而在問題解決中，式子意義解釋的尋求和提取因環(huán)境而異，不同的問題環(huán)境會(huì)激活不同的意義解釋，不同的意義理解造成問題解決的不同思路和不同難度。
四、數(shù)學(xué)模型———數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方法
數(shù)學(xué)模型方法就是對(duì)所研究的問題構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究來解決原型問題的方法。從廣義的觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式都是數(shù)學(xué)模型。從狹義的觀點(diǎn)看，解決小學(xué)數(shù)學(xué)中的具體的數(shù)學(xué)問題，特別是解答應(yīng)用題都需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決。
1.數(shù)學(xué)概念（方法）的建立
數(shù)學(xué)概念建立或數(shù)學(xué)方法歸納的過程實(shí)質(zhì)就是建立數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型的過程。學(xué)生通過操作、比較、歸納、分析和綜合，在對(duì)對(duì)象的各個(gè)屬性形成較為清晰的表象后，教師引導(dǎo)學(xué)生將這些對(duì)象屬性進(jìn)行剖析，將對(duì)象的本質(zhì)屬性抽象出來，并將這種本質(zhì)屬性概括到同類事物當(dāng)中去，于是就形成關(guān)于對(duì)象的數(shù)學(xué)屬性的基本模型。
如數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，師生一起探討“在正方形四周植樹”的問題，學(xué)生活動(dòng)后，組織交流。
生1：每個(gè)頂點(diǎn)栽一棵，一共需要：4×4-4=12棵。
生2：頂點(diǎn)上的樹屬于其中的一條邊，這樣每條邊上的樹只有3棵，再用3x4=12棵。
生3：先算每條邊中間植樹的棵數(shù)，2×4=8棵，再加上頂點(diǎn)位置的4棵，也是12棵。
生4：把頂點(diǎn)上的4棵樹分別屬于正方形上下兩條邊。這樣左右兩條邊只有2棵，列式為4×2+2×2=12棵。
師：方法不同，列式不同，但殊途同歸，至少要栽12棵。在解決問題的過程中，你覺得關(guān)鍵要注意什么？
生：就是頂點(diǎn)上的棵數(shù)不能多算，只能算一次。每條邊上樹的棵數(shù)×邊數(shù)-頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 師：如果在正三角形、正五邊形、正六邊形草坪四周植樹，每邊都要植4棵，每塊草坪分別需要多少棵呢?小組選擇一個(gè)問題進(jìn)行研究。
在以上教學(xué)過程中，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，提出個(gè)性化的解決問題的策略，從多個(gè)角度，多種途徑進(jìn)行解釋，理解在正方形四周植樹的計(jì)算方法。然后教師引導(dǎo)學(xué)生比較求同，在眾多表面上形態(tài)各異的思維策略背后蘊(yùn)藏的共同的具有更高概括意義的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而體會(huì)到解決問題的一般數(shù)學(xué)模型：“每條邊上樹的棵數(shù)×邊數(shù)-頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)�！痹谶@種思想方法的指引下，學(xué)生掌握了多邊形各邊植樹的計(jì)算方法。
2.運(yùn)用數(shù)學(xué)問題的解決
解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵步驟就是通過分析數(shù)量關(guān)系，把題中的實(shí)際問題抽象成一個(gè)純數(shù)學(xué)的關(guān)系結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)模型,依據(jù)該數(shù)學(xué)模型固有的解決問題的策略進(jìn)行運(yùn)算。
五、數(shù)形結(jié)合———數(shù)學(xué)理解的基本方法
數(shù)形結(jié)合是指將數(shù)（或量）與形（或圖）結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思維策略，即根據(jù)問題的需要，把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征來研究，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來研究，從而利用數(shù)形的辯證法和各自的優(yōu)勢(shì)，得到解決問題的方法。
1.以形直觀的表達(dá)數(shù)
其實(shí)質(zhì)就是抽象對(duì)象或關(guān)系的“可視化”，將抽象的東西“原型化”，有利于利用形象思維和直觀思維。
借助“形”的直觀建立數(shù)學(xué)概念。由于概念的抽象與概括性，教學(xué)時(shí)要向?qū)W生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數(shù)小棒、搭多邊形中認(rèn)識(shí)整數(shù)，在等分圖形中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)；利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù)，等等。借助“形”的操作形成數(shù)學(xué)規(guī)則。讓學(xué)生明確規(guī)則的合理性、理解其推導(dǎo)過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)過程性目標(biāo)。而數(shù)形結(jié)合能降低思維難度，讓學(xué)生有信心和能力歸納出法則。
借助“形”的啟發(fā)獲得解題思路。借助圖形解題的最大優(yōu)勢(shì)是將抽象問題形象化。因?yàn)閷?shù)量信息反映在圖形上，能直觀表現(xiàn)數(shù)量間關(guān)系，從而獲得解題思路。尤其在解較復(fù)雜的應(yīng)用題（如“種植株數(shù)”、“截?cái)唷钡龋⿻r(shí)，恰當(dāng)選用線段圖、示意圖、集合圖等，是尋找解題途徑最有效的手段之一。
2.以數(shù)精確地研究形
“形”具有形象直觀的優(yōu)勢(shì)，但也有其粗略和不便于表達(dá)的問題，需要以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描述、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)，才能使學(xué)生更準(zhǔn)確地把握“形”的特征。
借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述認(rèn)識(shí)圖形的特征。例如,教學(xué)《空間和方位》，教師引導(dǎo)學(xué)生掌握用東、南、西、北和東北、西北、東南、西南這些詞語(yǔ)描繪物體所在的方向，用方向、角度數(shù)和距離或數(shù)對(duì)來表示物體所在的位置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到以數(shù)釋形的精確和周密。
借助數(shù)學(xué)運(yùn)算的方式判斷圖形的性質(zhì)。例如，求解“周長(zhǎng)相同的正方形、長(zhǎng)方形和圓，哪個(gè)面積最大？哪個(gè)最小？”由于作圖困難，憑圖形直觀難以判斷，而通過設(shè)定特殊值作具體計(jì)算，圖形大小關(guān)系就比較容易判別了。
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