借助方程求解數(shù)軸上動點方法

　　數(shù)軸上的動點問題離不開數(shù)軸上兩點之間的距離。為了便于初一年級學(xué)生對這類問題的分析，不妨先明確以下幾個問題：

　　1.數(shù)軸上兩點間的距離，即為這兩點所對應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點間的距離=右邊點表示的數(shù)—左邊點表示的數(shù)。

　　2.點在數(shù)軸上運(yùn)動時，由于數(shù)軸向右的方向為正方向，因此向右運(yùn)動的速度看作正速度，而向作運(yùn)動的速度看作負(fù)速度。這樣在起點的基礎(chǔ)上加上點的運(yùn)動路程就可以直接得到運(yùn)動后點的坐標(biāo)。即一個點表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動b個單位后表示的數(shù)為a—b;向右運(yùn)動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。

　　3.數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點的運(yùn)動要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點在數(shù)軸上運(yùn)動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。

　　例1.已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別代表—24，—10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，甲的速度為4個單位/秒。

　�、艈柖嗌倜牒�，甲到A、B、C的距離和為40個單位?

　�、迫粢业乃俣葹�6個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇?

　�、窃冖泞频臈l件下，當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調(diào)頭返回。問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎?若能，求出相遇點;若不能，請說明理由。

　　分析：如圖1，易求得AB=14，BC=20，AC=34

　�、旁O(shè)x秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位。此時甲表示的數(shù)為—24+4x。

　�、偌自贏B之間時，甲到A、B的距離和為AB=14

　　甲到C的距離為10—(—24+4x)=34—4x

　　依題意，14+(34—4x)=40，解得x=2

　　②甲在BC之間時，甲到B、C的距離和為BC=20，甲到A的距離為4x

　　依題意，20+4x)=40，解得x=5

　　即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個單位。

　�、剖且粋�相向而行的相遇問題。設(shè)運(yùn)動t秒相遇。

　　依題意有，4t+6t=34，解得t=3.4

　　相遇點表示的數(shù)為—24+4×3.4=—10.4 (或：10—6×3.4=—10.4)

　�、羌椎紸、B、C的距離和為40個單位時，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個單位時，即的位置有兩種情況，需分類討論。

　�、偌讖腁向右運(yùn)動2秒時返回。設(shè)y秒后與乙相遇。此時甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：—24+4×2—4y;乙表示的數(shù)為：10—6×2—6y

　　依題意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7

　　相遇點表示的數(shù)為：—24+4×2—4y=—44 (或：10—6×2—6y=—44)

　�、诩讖腁向右運(yùn)動5秒時返回。設(shè)y秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：—24+4×5—4y;乙表示的數(shù)為：10—6×5—6y

　　依題意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8(不合題意，舍去)

　　即甲從A點向右運(yùn)動2秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點表示的數(shù)為—44。

　　點評：分析數(shù)軸上點的運(yùn)動，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進(jìn)行分析。點運(yùn)動后所表示的數(shù)，以起點所表示的數(shù)為基準(zhǔn)，向右運(yùn)動加上運(yùn)動的距離，即終點所表示的數(shù);向左運(yùn)動減去運(yùn)動的距離，即終點所表示的數(shù)。

　　例2.如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為—20，B點對應(yīng)的數(shù)為100。

　�、徘驛B中點M對應(yīng)的數(shù);

　　⑵現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運(yùn)動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，求C點對應(yīng)的數(shù);

　　⑶若當(dāng)電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運(yùn)動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點相遇，求D點對應(yīng)的數(shù)。

　　分析：⑴設(shè)AB中點M對應(yīng)的數(shù)為x，由BM=MA

　　所以x—(—20)=100—x，解得 x=40 即AB中點M對應(yīng)的數(shù)為40

　�、埔字獢�(shù)軸上兩點AB距離，AB=140，設(shè)PQ相向而行t秒在C點相遇，

　　依題意有，4t+6t=120，解得t=12

　　(或由P、Q運(yùn)動到C所表示的數(shù)相同，得—20+4t=100—6t，t=12)

　　相遇C點表示的數(shù)為：—20+4t=28(或100—6t=28)

　�、窃O(shè)運(yùn)動y秒，P、Q在D點相遇，則此時P表示的數(shù)為100—6y，Q表示的數(shù)為—20—4y。P、Q為同向而行的追及問題。

　　依題意有，6y—4y=120，解得y=60

　　(或由P、Q運(yùn)動到C所表示的數(shù)相同，得—20—4y=100—6y，y=60)

　　D點表示的數(shù)為：—20—4y=—260 (或100—6y=—260)

　　點評：熟悉數(shù)軸上兩點間距離以及數(shù)軸上動點坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。⑵是一個相向而行的相遇問題;⑶是一個同向而行的追及問題。在⑵、⑶中求出相遇或追及的時間是基礎(chǔ)。

　　例3.已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為—1，3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x。

　�、湃酎cP到點A、點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù);

　�、茢�(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5?若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由?

　�、钱�(dāng)點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運(yùn)動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運(yùn)動，點B一每分鐘20個單位長度向左運(yùn)動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等?

　　分析：⑴如圖，若點P到點A、點B的距離相等，P為AB的中點，BP=PA。

　　依題意，3—x=x—(—1)，解得x=1

　�、朴葾B=4，若存在點P到點A、點B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點左側(cè)，或B點右側(cè)。

　�、貾在點A左側(cè)，PA=—1—x，PB=3—x

　　依題意，(—1—x)+(3—x)=5，解得 x=—1.5

　　②P在點B右側(cè)，PA=x—(—1)=x+1，PB=x—3

　　依題意，(x+1)+(x—3)=5，解得 x=3.5

　　⑶點P、點A、點B同時向左運(yùn)動，點B的運(yùn)動速度最快，點P的運(yùn)動速度最慢。故P點總位于A點右側(cè)，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。

　　設(shè)運(yùn)動t分鐘，此時P對應(yīng)的數(shù)為—t，B對應(yīng)的數(shù)為3—20t，A對應(yīng)的數(shù)為—1—5t。

　�、貰未追上A時，PA=PA，則P為AB中點。B在P的右側(cè)，A在P的左側(cè)。

　　PA=—t—(—1—5t)=1+4t，PB=3—20t—(—t)=3—19t

依題意有，1+4t=3—19t，解得 t=

　　②B追上A時，A、B重合，此時PA=PB。A、B表示同一個數(shù)。

依題意有，—1—5t=3—20t，解得 t= 即運(yùn)動 或 分鐘時，P到A、B的距離相等。

　　點評：⑶中先找出運(yùn)動過程中P、A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩點間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個運(yùn)動過程。

　　例4.點A1、A2、A3、……An(n為正整數(shù))都在數(shù)軸上，點A1在原點O的左邊，且A1O=1，點A2在點A1的右邊，且A2A1=2，點A3在點A2的左邊，且A3A2=3，點A4在點A3的右邊，且A4A3=4，……，依照上述規(guī)律點A2008、A2009所表示的數(shù)分別為( )。

　　A.2008，—2009 B.—2008，2009 C.1004，—1005 D.1004，—1004

　　分析：如圖，

　　點A1表示的數(shù)為—1;

　　點A2表示的數(shù)為—1+2=1;

　　點A3表示的數(shù)為—1+2—3=—2;

　　點A4表示的數(shù)為—1+2—3+4=2 ……

　　點A2008表示的數(shù)為—1+2—3+4—……—2007+2008=1004

　　點A2009表示的數(shù)為—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005

　　點評：數(shù)軸上一個點表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動b個單位后表示的數(shù)為a—b;向右運(yùn)動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。運(yùn)用這一特征探究變化規(guī)律時，要注意在循環(huán)往返運(yùn)動過程中的方向變化。

　　練習(xí)題：

　　1.已知數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)數(shù)分別為—2，4，P為數(shù)軸上一動點，對應(yīng)數(shù)為x。

　　⑴若P為線段AB的三等分點，求P點對應(yīng)的數(shù)。

　�、茢�(shù)軸上是否存在P點，使P點到A、B距離和為10?若存在，求出x的值;若不存在，請說明理由。

　　⑶若點A、點B和P點(P點在原點)同時向左運(yùn)動。它們的速度分別為1、2、1個單位長度/分鐘，則第幾分鐘時P為AB的中點?

　　(參考答案：⑴0或2;⑵—4或6;⑶2)

　　2.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點K0，第一步從K0向左跳一個單位到K1，第二步由K1向右跳2個單位到K2，第三步由K2向左跳3個單位到K3，第四步由K3向右跳4個單位到K4……按以上規(guī)律跳了100步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的K100所表示的數(shù)恰是19.94。試求電子跳蚤的初始位置K0點表示的數(shù)。

　　(提示：設(shè)K0點表示的數(shù)為x，用含x的式子表示出K100所表示的數(shù)，建立方程，求得x=—30.06)

　　作者簡介：宋毓彬，男，45歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)理天地》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《語數(shù)外學(xué)習(xí)》、《數(shù)學(xué)周報》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報》、《數(shù)理報》、《少年智力開發(fā)報》、《學(xué)習(xí)報》、《小博士報》、《課程導(dǎo)報》等報刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。

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