級(jí)數(shù)求和方法總結(jié)

時(shí)間：2024-07-30 02:22:53 總結(jié) 我要投稿

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級(jí)數(shù)求和方法總結(jié)范文

　　級(jí)數(shù)求和問(wèn)題是無(wú)窮級(jí)數(shù)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，同時(shí)具有較強(qiáng)的技巧性。以下是小編整理的級(jí)數(shù)求和方法總結(jié)放棄，歡迎閱讀。

級(jí)數(shù)求和方法總結(jié)范文

　　一、定義法

　　這是以無(wú)窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)求和的概念為基礎(chǔ)，以拆項(xiàng)，遞推等為方法，進(jìn)行的求和運(yùn)算。這種方法適用于有特殊規(guī)律的無(wú)窮級(jí)數(shù)。

　　二、逐項(xiàng)微分法

　　由于冪函數(shù)在微分時(shí)可以產(chǎn)生一個(gè)常系數(shù)，這便為我們處理某些冪函數(shù)求和問(wèn)題提供方法。當(dāng)然從實(shí)質(zhì)上講，這是求和運(yùn)算與求導(dǎo)（微分）運(yùn)算交換次序問(wèn)題，因而應(yīng)當(dāng)心冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間（對(duì)后面的逐項(xiàng)積分法亦如此）。

　　有時(shí)候，所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為另一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而以這些函數(shù)為通項(xiàng)的級(jí)數(shù)易于求和，則可將這些函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)。

　　三、逐項(xiàng)積分法

　　同逐項(xiàng)微分法一樣，逐項(xiàng)積分法也是級(jí)數(shù)求和的一種重要方法，這里當(dāng)然也是運(yùn)用函數(shù)積分時(shí)產(chǎn)生的常系數(shù)，而使逐項(xiàng)積分后的新級(jí)數(shù)便于求和。

　　【拓展延伸】

　　數(shù)列求和的方法

　　一、分組轉(zhuǎn)化求和法

　　若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí)可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項(xiàng)――重新分組――求和合并。

　　例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

　　解由和式可知，式中第n項(xiàng)為an=n（3n+1）=3n2+n

　　∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

　　=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

　　=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

　　=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

　　=n（n+1）2

　　二、奇偶分析求和法

　　求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，如果需要對(duì)n進(jìn)行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。

　　例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　分析：觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項(xiàng)數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項(xiàng)求和法求的結(jié)果。

　　解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

　　=-n2-n2+n2+n2=n

　　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

　　=-n2+n2+n2-n2=-n

　　綜上所述，Sn=（-1）nn

　　三、并項(xiàng)求和法

　　一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn中，某些項(xiàng)合在一起就具有特殊的性質(zhì)，因此可以幾項(xiàng)結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項(xiàng)求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項(xiàng)合并求解。如例3中可用并項(xiàng)求和法求解。

　　例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

　　解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

　　=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

　　四、裂項(xiàng)相消法

　　如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式能拆分成兩項(xiàng)差的形式，并且相加過(guò)程中可以互相抵消至只剩下有限項(xiàng)時(shí)，這時(shí)只需求有限項(xiàng)的和，把這種求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的方法叫做裂項(xiàng)相消法。

　　裂項(xiàng)相消法中常用的拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化公式有：

　　（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

　�。�2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

　�。�3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

　�。�4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），

　　其中n∈N，k∈R且k≠0

　　例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

　　解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

　　∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

　　=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

　　=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

　　=2（1-1n+1）=2nn+1