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數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性問題研究論文
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)采用不同的表達(dá)方式，以滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求�！蔽艺J(rèn)為這里的挑戰(zhàn)性非常重要，因為班級授課制的主要弱點誻很難兼顧學(xué)生的個體差異，這就使教師在進(jìn)行授課時，許多學(xué)生處于被動學(xué)習(xí)狀態(tài)，大大降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。怎么做才能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使其和諧、自主地發(fā)展呢？設(shè)計挑戰(zhàn)性的問題可以說是一劑良藥，它可以觸發(fā)學(xué)生的非智力因素，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決問題的欲望，使課堂活起來，下面結(jié)合實例談?wù)勛约旱囊恍w會。
1.在動手操作中思考變與不變
在進(jìn)行人教版14.1軸對稱第一課時的教學(xué)，為了突破難點——比較觀察軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的區(qū)別和聯(lián)系，我設(shè)計了以下教學(xué)過程：
……
師：剛才我們動手剪一些圖形，請你把它們擺成如圖所示的情形。(第一幅圖是軸對稱圖形，第二幅圖是兩個圖形關(guān)于某直線對稱)
分別移動或旋轉(zhuǎn)圖1中的松樹和圖2中的一個小人，什么變了什么沒變？你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：在移動或旋轉(zhuǎn)松樹的過程中，它們的形狀沒有變，位置變了。
師：它還是軸對稱圖形嗎？請用一句話歸納你的發(fā)現(xiàn)。
生1：是，軸對稱圖形是具有某種特征的一個圖形，與位置無關(guān)。
師：很好!誰能類似地說說圖2？
生2：在移動或旋轉(zhuǎn)圖2中一個小人的的過程中，兩個小人的形狀沒變，但一個小人的位置變了，兩個小人已不再關(guān)于某直線對稱，也就是說兩個圖形關(guān)于某直線對稱是兩個全等圖形之間的相對位置關(guān)系，與位置有關(guān)。
通過讓學(xué)生動手操作，并在操作過程中支思考——什么變了什么沒變，從而得到問題的本質(zhì)，這樣的問題具有挑戰(zhàn)性，學(xué)生有興趣去親身實踐，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的歸納和語言組織能力。
2.在認(rèn)知沖突下產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要
在進(jìn)行人教版3.2直線、射線、線段第一課時的教學(xué)時，我先讓幾位學(xué)生畫過點O的直線和過兩點A、B的直線(如圖)，然后提出問題：經(jīng)過一點可以畫幾條直線？經(jīng)過兩點呢？用一
句話概括你的結(jié)論。在得到“兩點確定一條直線”后，我又提出新的問題：剛才甲同學(xué)畫的是哪一條？乙同學(xué)呢？同學(xué)們面面相覷，既是知道是哪一條，也不能清楚地說出來，這就產(chǎn)生了認(rèn)知矛盾，要想明確地表示不同的直線，就需要知道直線的表示方法。這時教師繼續(xù)追問：為什么過點O直線不能明確地說出誰畫的，而過點A、B的直線卻可以明確地知道呢？然后思考如何表示一條直線比較合理。在得到直線的表示方法后，讓學(xué)生獨(dú)立思考后再小組討論：能用同樣的方法表示線段和射線嗎？如果不能，應(yīng)怎樣修改？
這樣從看似簡單的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生一層層、一步步去挖掘問題的本質(zhì)，使學(xué)生的大腦處于積極的思維狀態(tài)，提高了學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)效率。
3.在游戲背景下，逐漸提高問題的難度
新世紀(jì)中學(xué)的王宏強(qiáng)老師在講人教版3.1多姿多彩的圖形時，為了讓學(xué)生充分感知各種圖形的形狀特征，特別有創(chuàng)意地設(shè)計了一個魔術(shù)袋，里面裝了一些大小、形狀各異的立方體，讓學(xué)生一個一個地向外摸當(dāng)時學(xué)生情緒很高。當(dāng)學(xué)生摸出一個后，王老師問：“你摸出的是什么？它有幾個頂點、幾條棱、幾個面？”學(xué)生依次摸出了長方體、正方體、圓柱體、錐體等等，但因為眾多幾何體的出場順序和問題相同，所以后來學(xué)生的興趣劇減。我認(rèn)為如果稍作修改，提出一些挑戰(zhàn)性的問題，將會增色不少。如將游戲分為三步走。第一步，讓學(xué)生任意摸出一個幾何體，看著它，利用視覺描述它的特征后再說出它的名稱；第二步，讓學(xué)生任意摸到一個幾何體，先別拿出來，利用手的觸覺描述它的特征，讓大家猜一猜是什么幾何體，然后拿出來進(jìn)行驗證；第三步，讓學(xué)生根據(jù)老師描述的特征去摸出相應(yīng)的幾何體，讓大家判斷正誤……
這樣層層遞進(jìn)，不斷問題的難度，充分調(diào)動學(xué)生的視覺、觸覺及抽象思維，使學(xué)生的興趣逐漸達(dá)到高潮，這節(jié)課將會成為成為一堂很有特色的成功優(yōu)質(zhì)課。
4.在一題多解的環(huán)境下，探究問題的體質(zhì)
一位教師在講解人教版七年級上冊P88的例2時介紹了兩種解法。
例2一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭到甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時。已知小流的速度是3千米/時，求船在靜水中的平均速度。
解法一：設(shè)船在靜水中的平均速度為x千米/時，根據(jù)往返路相等可列方程
2(x+3)=2.5(x-3)
解略
解法二：設(shè)甲乙兩碼頭之間的距離為x千米，由船在靜水中速度不變可列方程
解略
到這里似乎結(jié)束了，但學(xué)生還沒有深刻理解，教師應(yīng)繼續(xù)提問：兩種方法有什么不同？又有什么聯(lián)系？要引導(dǎo)學(xué)生去思考，明白一種是設(shè)直接未知數(shù)，一種是設(shè)間接未知數(shù)，更要讓學(xué)生知道題目中有兩個未知數(shù)、兩個等量關(guān)系，設(shè)出一個未知數(shù)表示出另一個未知數(shù)時必然要用到一個相等關(guān)系，所以列方程時就必須用另一個相等關(guān)系，不然循環(huán)引用列出象x+3-3=x-3+3這樣的恒等方程來，使學(xué)生的思維在今后解應(yīng)用題時更具目的性。
5.主動改編習(xí)題，養(yǎng)成挑戰(zhàn)性格，培養(yǎng)創(chuàng)新能力
現(xiàn)在的學(xué)生絕大部分疲于完成老師布置的作業(yè)、習(xí)題，思維和態(tài)度均處于被動狀態(tài)，這樣不僅會禁錮學(xué)生的思路，還容易將學(xué)生拉進(jìn)盲目的題海之中。為了克服這些缺點，教師要引導(dǎo)學(xué)生將課本習(xí)題進(jìn)行改編，換個條件、換個方向，以期體會出題者的意圖，培養(yǎng)探究能力和創(chuàng)新精神。
例1已知圓柱的底面半徑為6cm，高為10cm，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是多少？
學(xué)生沿一條母線剪開得到側(cè)面展開圖后，容易求出最短路程為cm，待學(xué)生完全理解后，教師可將習(xí)題進(jìn)行變式，提出下列問題：
(1)為什么要展開？
(2)如果半徑和高均為6cm，最短路程又為多少？
(3)若將點B移到點A的正上方，如圖，最短路線是哪一條？
(4)如果從點A繞圓柱一周后到達(dá)點B建一懸梯，則懸梯的最短長度是多少？
(5)如果圖(4)中的圓柱較高，為了減少坡度，點A需繞圓柱兩周到達(dá)點B，最短路程又是多少？
這樣不斷變換題目的條件，逐漸提高難度，學(xué)生要想正確解答出來，要進(jìn)行合理的分類比較、正確地空間想象以及較強(qiáng)的分析綜合能力，(4)、(5)雖然較難，但(4)可仿照原題的思路解出，而(5)可以將其轉(zhuǎn)化為(4)來解決，同時還向?qū)W生滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，既培養(yǎng)了學(xué)生的興趣，又提高了學(xué)生的能力。
例2已知一個三角形的三邊分別是17，15,8，求這個三角形的面積。
此題是勾股定理之后的一道練習(xí)題，學(xué)生容易驗證此三角形為直角三角形，因此15和8分別為直角邊，所以面積是15×8/2=60。
這里教師可以提出一個新的挑戰(zhàn)性的問題：若將題目中的17改為10，還可以這么做嗎？
學(xué)生驗算后回答：不能，因為不是直角三角形，即條件不夠。教師接著問：已知三角形的三邊長度，它的形狀和大小是不是確定的？如果確定，條件應(yīng)該夠，為什么不能做呢？
學(xué)生恍然大悟，作高!具體做法如下：
過點A作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則DC=15-x，于是有
解出x就可求出高AD，從而可以求出三角形的面積。
此題訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維能力，滲透了方程思想，同時又強(qiáng)化了邊邊邊公理，可謂一舉多得，也讓學(xué)生體會到了創(chuàng)新的樂趣。
總之，挑戰(zhàn)性是高質(zhì)量問題的一個顯著特征，問題具有了挑戰(zhàn)性，才能更好地調(diào)動學(xué)生的非智力因素，才會產(chǎn)生高質(zhì)量地互動，解決此類問題也往往包含著數(shù)學(xué)思想方法和策略的應(yīng)用，學(xué)生的智慧和人格自然會在這個過程中形成。
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