數(shù)學(xué)方法論
數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問。數(shù)學(xué)是一門工具性很強(qiáng)的科學(xué)，它和別的科學(xué)比較起來還具有較高的抽象性等特征，為了有效地發(fā)展它、改進(jìn)它、應(yīng)用它或者把它很好地傳授給學(xué)生們，就要求對(duì)這門科學(xué)的發(fā)展規(guī)律、研究方法、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明等法則有所掌握，因此，數(shù)學(xué)研究工作者、數(shù)學(xué)教師、科技工作者，以及高年級(jí)大學(xué)生、研究生等都需要知道一些數(shù)學(xué)方法論。
數(shù)學(xué)方法論特征
對(duì)數(shù)學(xué)方法論的早期研究，十七世紀(jì)就已經(jīng)開始了，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲都曾做過這方面的探討，并出版過專著，歷史上不少著名的大數(shù)學(xué)家，如歐拉，高斯、龐加萊、希爾伯特等人也曾就數(shù)學(xué)方法論的問題發(fā)表過許多精辟的見解，但是，對(duì)數(shù)學(xué)方法論進(jìn)行系統(tǒng)地研究，還是最近幾十年間的事，在這方面做了突出的貢獻(xiàn)，當(dāng)首推美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞，最近幾十年來.由于現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入了人工智能和摸擬思維的階段，就更加促使數(shù)學(xué)方法論蓬勃發(fā)展起來;信息論，控制論、認(rèn)知科學(xué)和人工智能的最新研究成果相繼引進(jìn)了數(shù)學(xué)方法論的領(lǐng)域。而徐利治先生正式提出"數(shù)學(xué)方法論"這一名稱，并使其成為一門獨(dú)立的學(xué)科，迄今僅二十來年。
數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)史料是數(shù)學(xué)方法論的源泉，同時(shí)，數(shù)學(xué)方法論還涉及到哲學(xué)、思維科學(xué)，心理學(xué)、一般科學(xué)方法論、系統(tǒng)科學(xué)等眾多的領(lǐng)域。
數(shù)學(xué)方法論分為宏觀數(shù)學(xué)方法論與微觀數(shù)學(xué)方法論。
數(shù)學(xué)宏觀方法論所研究的是整個(gè)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的規(guī)律，數(shù)學(xué)理論的構(gòu)造，以及數(shù)學(xué)與其它科學(xué)之間的關(guān)系。研究宏觀方法論的主要途徑之一是研究數(shù)學(xué)史。研究宏觀方法論的另一條主要途徑是研究數(shù)學(xué)理論體系的構(gòu)造。
數(shù)學(xué)微觀方法論所研究的是一些比較具體數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的方法。包括數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)解題心理與數(shù)學(xué)解題理論等等。
數(shù)學(xué)方法論目錄
第1講 數(shù)學(xué)方法論引論
1 研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的
2 宏觀的方法論與微觀的方法論
3 略論希爾伯特成功的社會(huì)因素
4 淺談微觀的數(shù)學(xué)方法論
第2講 略論數(shù)學(xué)模型方法
1 數(shù)學(xué)模型的意義
2 數(shù)學(xué)模型的類別及簡(jiǎn)單例子
3 MM的構(gòu)造過程及特點(diǎn)
4 怎樣培訓(xùn)構(gòu)造MM的能力
第3講 關(guān)系映射反演原則的應(yīng)用
1 何謂“關(guān)系映射反演原則”?
2 數(shù)學(xué)中的RMI原則
3 若干較簡(jiǎn)單的例子
4 幾個(gè)較難一點(diǎn)的例子
5 用RMI原則分析“不可能性命題”
6 關(guān)于RMI原則的補(bǔ)充說明
第4講 略論數(shù)學(xué)分理化方法
1 公理化方法的意義和作用
2 公理化方法發(fā)展簡(jiǎn)史
3 公理化方法的基本內(nèi)容
4 重要例子——幾何學(xué)公理化方法
5 關(guān)于公理系統(tǒng)的相容性問題
6 略談自然科學(xué)中的公理化方法
第5講 關(guān)于數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)主義
1 結(jié)構(gòu)主義學(xué)派的形成過程
2 布巴基學(xué)派的一般觀點(diǎn)
3 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的分類
4 數(shù)直線結(jié)構(gòu)分析
5 略變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
6 略談同構(gòu)概念
7 略評(píng)結(jié)構(gòu)主義
第6講 代數(shù)方程根式解法與伽羅瓦的群論思想方法
1 代數(shù)基本定理與根式解法研究簡(jiǎn)史
2 拉格朗日的思想方法與阿貝爾定理
3 伽羅瓦的思想方法
4 方程式可解性理論簡(jiǎn)介
第7講 關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)域與非康托型自然數(shù)模型的構(gòu)造方法
1 略論“無限”概念蘊(yùn)含的矛盾
2 非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)域的構(gòu)造方法
3 非康托型自然數(shù)序列模型的構(gòu)造法
4 關(guān)于一個(gè)引伸的芝諾悖論的解釋
5 略論無限的兩種形態(tài)
第8講 悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題
1 悖論的定義和起源
2 悖論的舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)
3 策莫洛對(duì)悖論的解決方案
4 羅素對(duì)悖論的解決方案
5 塔斯基及其語義學(xué)
6 哥德爾的不完備性定理與悖論
7 悖論的成因與研究悖論的重要意義
第9講 論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)諸流派及其無究觀
1 數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相對(duì)相容性證明與諸流派形成的歷史近因
2 邏輯主義派的觀點(diǎn)和方法
3 直覺主義派的觀點(diǎn)和方法
……
第10講 略論數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的心智過程
附錄Ⅰ 數(shù)學(xué)軸象度概念與抽象度分析法
附錄Ⅱ “數(shù)學(xué)模式觀”與數(shù)學(xué)教育及哲學(xué)研究中的有關(guān)問題
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