數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練匯編
《學(xué)而思培優(yōu)·數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練匯編:小學(xué)奧數(shù)5年級(視頻講解)》以各杯賽出題方向?yàn)橐罁?jù)，按照奧數(shù)學(xué)習(xí)的模塊分計算、計數(shù)、應(yīng)用題、行程問題、幾何、數(shù)論、組合七個大專題，共三十六講編寫。
題目皆選自全國各大杯賽試題，題型全面，包含所有小學(xué)年級奧數(shù)知識點(diǎn)，且題目分類詳盡;題目難易程度按星級由簡至難排布，且有詳盡的答案解析。
本書針對小學(xué)思維訓(xùn)練拓展。
為什么競賽選手走向社會之后會有這么多的成功者?我想原因主要有以下三點(diǎn):
一是數(shù)學(xué)解題對學(xué)生思維能力的訓(xùn)練是任何其他學(xué)科所不能比擬的。
雖然其他學(xué)科對于思維訓(xùn)練也有很大益處，但沒有哪門學(xué)科對于學(xué)生的注意力、觀察力、邏輯思維能力、記憶力、空間想象能力的訓(xùn)練像數(shù)學(xué)這樣的全面和有針對性。
二是數(shù)學(xué)題目和數(shù)學(xué)問題本身的難度較大，對學(xué)生的毅力和獨(dú)立思維的意志品質(zhì)是一個很好的磨煉。
三是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中尤其需要學(xué)生的自學(xué)能力。
數(shù)學(xué)競賽的題目范圍及難度往往略高于學(xué)校的教學(xué)大綱，對于解題思想的考查則不局限于學(xué)校的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生為了取得新的突破，必須通過獨(dú)自鉆研，或者與同學(xué)及師長交流討論。
如何提高數(shù)學(xué)思維【2】
(1)追根究底，培養(yǎng)思維的深刻性
思維的深刻性指善于透過紛繁復(fù)雜的表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于概念中的重點(diǎn)字、詞，教師要進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，并講清它們的含義;對于數(shù)學(xué)定理、公理中的條件和結(jié)論，要徹底講清楚,要讓學(xué)生深刻地理解所學(xué)的知識，對所學(xué)的知識追根究底，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住問題的本質(zhì)所在;對于數(shù)學(xué)中相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容,要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對比和類比，使他們通過比較，加深對所學(xué)知識的理解，同時也有助于對所學(xué)知識的記憶 。
(2)多角度、多層次考慮問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性
思維的廣闊性指善于全面地考察問題，從事物多種多樣的聯(lián)系和關(guān)系中去認(rèn)識事物。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要教育學(xué)生學(xué)會多角度、多層次、全面地思維，找到數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系。
我們知道數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系是無處不在的，如：一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式就聯(lián)系密切;二次函數(shù)中，函數(shù)值為零就變成了一元二次方程;函數(shù)值大于或小于零時，就是一元二次不等式，找到知識間的聯(lián)系后，就能很快地利用二次函數(shù)的圖象，解一元二次不等式。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要把握數(shù)學(xué)問題的整體，而且要抓住它的基本特征和特殊因素，找到問題的突破口，從而解決數(shù)學(xué)問題，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。
(3)活學(xué)活用，培養(yǎng)思維的靈活性
思維的靈活性是指能夠根據(jù)客觀條件的發(fā)展和變化及時地改變方法，尋找新的解決問題的途徑。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識的同時，還要注意教授學(xué)生一些數(shù)學(xué)的基本思維和方法，如：化歸的思維方法、轉(zhuǎn)化的思維方法、比較的方法、形與數(shù)互相結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思維方法，以及在解題時經(jīng)常用到的分析法和綜合法等等，幫助學(xué)生在解題時，尋找問題的突破口，抓住問題實(shí)質(zhì)，提高分析問題、解決問題的能力。
對于數(shù)學(xué)中的公式，要讓學(xué)生知道公式的正用、逆用、變用、活用、巧用及綜合運(yùn)用，能靈活地運(yùn)用公式，解答數(shù)學(xué)題。
教師要鼓勵學(xué)生用非常規(guī)的方法去解題，大膽嘗試，這都有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，要克服思維的呆板，避免循規(guī)蹈矩，提高應(yīng)變能力。
(4)多練精練，培養(yǎng)思維的敏捷性
思維的敏捷性是指思維過程的簡縮性和快速性。
數(shù)學(xué)教學(xué)中，做題是必不可少的一個重要環(huán)節(jié)，只有做一定量的題，才能掌握數(shù)學(xué)知識。
教師在教學(xué)中，可以通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，讓學(xué)生掌握所學(xué)的知識，熟悉所學(xué)的公式，學(xué)會解題的方法和技巧,能迅速從題中抓住本質(zhì)，找到解題的關(guān)鍵。
練習(xí)題要精選，既要達(dá)到鞏固所學(xué)知識的目的，又要避免同一類型的題大量地重復(fù)做，只有這樣才能做到在解題時，正確地、敏捷地解出答案。
(5)鼓勵發(fā)散思維,培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性
思維的創(chuàng)造性是指獨(dú)立思考創(chuàng)造出有社會(或個人) 價值的具有新穎性成分的成果的智力品質(zhì)。
創(chuàng)造性思維是創(chuàng)造力的核心。
心理學(xué)家吉爾福特認(rèn)為智力結(jié)構(gòu)中的每一種能力都與創(chuàng)新有關(guān)，但發(fā)散思維與創(chuàng)新的關(guān)系最為密切。
發(fā)散思維是一種開放性的思維。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要啟發(fā)學(xué)生多思考、多提問。
勤思善問是創(chuàng)新思維的開始，教師應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生有不同的看法和新見解，對于學(xué)生的探索精神以及獨(dú)到的、新穎的解題方法或解題思路，教師要給予肯定和鼓勵。
在平時的例題講解中，采用題型發(fā)散、解法發(fā)散、縱橫發(fā)散、變更命題發(fā)散、轉(zhuǎn)化發(fā)散、遷移發(fā)散等多種形式，對學(xué)生進(jìn)行多思、多變、多解的解題輔導(dǎo)，使他們思考問題時，注重多途徑、多方案，解決問題時注重舉一反三，觸類旁通，這對于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性至關(guān)重要。
要讓學(xué)生在思想上擺脫傳統(tǒng)的習(xí)慣，多從反習(xí)慣、反傳統(tǒng)、反常規(guī)思路上考慮問題，要提倡做題時，能標(biāo)新立異、獨(dú)辟蹊徑、推陳出新，這些都有助于提高學(xué)生思維的創(chuàng)新能力。
(6)學(xué)會檢驗(yàn)，培養(yǎng)思維的批判性
思維的批判性是指思考問題時，不受別人暗示的影響，能嚴(yán)格而客觀地評價、檢驗(yàn)思維的結(jié)果的思維品質(zhì)。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要教給學(xué)生能解出結(jié)果，而且要讓他們知道來龍去脈，并教給他們要用各種方式進(jìn)行檢驗(yàn)，要檢驗(yàn)自己的結(jié)論是否正確、是否符合題意，去偽存真，能夠及時找到問題所在，并自行改正，養(yǎng)成檢驗(yàn)的好習(xí)慣。
另外教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中,還要針對學(xué)生容易出錯的地方，講一些錯例辨析題，通過這類型題的比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題所在，提高他們的辨誤水平，避免再犯同樣的錯誤。
告訴學(xué)生，凡事要自己去思考，不要盲從、不要迷信，有批判地接受，要敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題，這對提高他們思維的批判性是有益處的。
對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要任務(wù)，它不是一朝一夕的事，數(shù)學(xué)教師要在傳授知識的同時，注意對學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，提高學(xué)生的思維能力，教師要大膽改革教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
(7)突出情感教育，激發(fā)思維的積極性
①激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。
我國數(shù)學(xué)家王梓坤院士教導(dǎo)我們：“數(shù)學(xué)教師的職責(zé)之一就在于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，這等于給了他們長久鉆研數(shù)學(xué)的動力，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師之所以在學(xué)生中永志不忘，就是由于他點(diǎn)燃了學(xué)生心靈中熱愛數(shù)學(xué)的熊熊火焰。
”因此，教師可以利用創(chuàng)設(shè)問題情境，利用教學(xué)認(rèn)知矛盾，揭示新舊知識的聯(lián)系，以數(shù)學(xué)知識本身的魅力與內(nèi)在美，用直觀的演示實(shí)驗(yàn)、精彩的導(dǎo)言來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
②根據(jù)學(xué)生的個體差異，進(jìn)行差異教學(xué)。
研究表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力表現(xiàn)出明顯的個體差異。
因此，教師對優(yōu)等生要發(fā)揮其特長，指出其問題，更上一層樓;對中等生要激發(fā)其上進(jìn)心，創(chuàng)造條件，促使其進(jìn)步;對差生要熱情關(guān)心，找出其癥結(jié)，并采取個別指導(dǎo)的形式，幫助其克服困難，樹立信心。
總之，教學(xué)要面向全體學(xué)生，調(diào)動每個學(xué)生的積極性，讓每個學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上得到充分發(fā)展。
(8)注重數(shù)學(xué)語言教學(xué)，提高思維精度
語言是思維的載體，思維需要用語言或文字表述。
著名科學(xué)家愛因斯坦認(rèn)為：“一個人的發(fā)展和他形成概念的方法很大程度上是取決于語言。
”數(shù)學(xué)語言是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)交流的工具。
數(shù)學(xué)語言水平的高低，在一定程度上影響著數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。
所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分認(rèn)識數(shù)學(xué)語言對思維活動的影響，注重數(shù)學(xué)語言教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行思維的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的思維能力。
在教學(xué)中應(yīng)注意：
�、購囊�(guī)范書寫與正確表達(dá)做起。
如果老師對數(shù)學(xué)概念、術(shù)語理解不深刻，語言表達(dá)不準(zhǔn)確、不規(guī)范，甚至出現(xiàn)科學(xué)性錯誤，或者書寫格式不合邏輯，出錯題或做錯解，對學(xué)生的影響是難以估量的。
因此，老師在課堂教學(xué)要做到語言規(guī)范，言必有序，言必有理，言必有據(jù)。
所有言語要合乎一般語法法則和邏輯要求，概念教學(xué)要準(zhǔn)確到位，清晰明了，推理分析要條理清楚、層次分明。
②鼓勵數(shù)學(xué)交流。
在課堂教學(xué)中，盡可能多地讓學(xué)生說，如同位相商、小組討論、集體討論、自由議論、自己對自己說、質(zhì)疑問難、全班評議等。
通過交流，可以使學(xué)生的思想清晰活躍，思路明確開闊，因果分明，邏輯清楚。
(9)創(chuàng)設(shè)情境問題，提供思維空間
�、黉亯|型情境。
教師可以以符合學(xué)生認(rèn)知水平的、富有啟發(fā)性的、常規(guī)問題或已知的數(shù)學(xué)事實(shí)為素材，創(chuàng)設(shè)鋪墊型情境。
通過由淺入深、由此及彼、由正及反等不同的方式，不同層次的聯(lián)想，變化發(fā)展出不同的新問題，從而為各種層次的學(xué)生提供廣闊的思維空間，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的開放性和合理推理能力有重要作用。
�、谡J(rèn)知沖突型情境。
教師可以以富有挑戰(zhàn)性、探究性，且處于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最近發(fā)展區(qū)的非常規(guī)問題為素材，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突性情境，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激起學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望和學(xué)習(xí)動機(jī)。
要讓學(xué)生從解決面臨的情境問題出發(fā)，不斷地分解、轉(zhuǎn)化問題，提出新的有關(guān)問題，并通過新問題的解決，最終使情境問題獲得解決。
�、鬯季S策略型情境。
教師可以以思維策略多樣、解題方法典型、解題過程能體現(xiàn)某種完整的數(shù)學(xué)思想方法的問題作為素材，創(chuàng)設(shè)思維策略性情境。
當(dāng)學(xué)生的思維受阻后，教師可以從不同角度、不同的層次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辯證分析，使學(xué)生獲得不同程度的啟發(fā)，從而使他們產(chǎn)生不同的解法。
同時，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對解法或策略進(jìn)行適用性研究，拓展其使用范圍。
這對克服思維定勢等原因產(chǎn)生的消極影響，拓展思維的深度和廣度，優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性具有重要作用。
�、茉囌`型情境。
學(xué)生在理解、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法的過程中，常因各種原因，犯一些似是而非的錯誤，教師如果能從中選擇素材，就可創(chuàng)設(shè)試誤型情境，借此為學(xué)生嘗試錯誤提供時間與空間，并通過反思錯誤的原因，提出批駁型問題，加深學(xué)生對知識、方法的理解和掌握，提高他們對錯誤的認(rèn)識與警戒，培養(yǎng)他們思維的批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性。
這不僅能激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)熱情，促使他們以積極的態(tài)度、旺盛的精力主動探索，而且能使他們在情境中沉思、在情境中受感染、在情境中領(lǐng)悟。
(10)引導(dǎo)學(xué)生反思，挖掘思維潛力
數(shù)學(xué)研究本身就是一個不斷反思的過程，反思推進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步。
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反思是一種積極的探究行為，是促進(jìn)知識同化遷移的可靠途徑;反思可以溝通新舊知識間的聯(lián)系，深化對知識的理解;反思能促使學(xué)生從不同方面多角度觀察事物，質(zhì)疑問題，有利于創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。
良好的反思能力的形成必將使學(xué)生的思維能力得到大大地提升。
因此，在教學(xué)中，應(yīng)緊密結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知活動，適時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。
①聽課反思。
在聽課過程中，要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思這節(jié)課的主要內(nèi)容與特點(diǎn)、學(xué)習(xí)的目標(biāo)、教師思考問題的方法、自己對知識的理解程度，并可要求學(xué)生注意捕捉引起反思的問題或提出具有反思性的見解。
�、诮忸}反思。
這是在解題過程中，反思求解數(shù)學(xué)問題的思維模式，它通過對問題解答的結(jié)論的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)或提出疑問、能否將問題進(jìn)行變式或把當(dāng)前問題推廣到一般情況等問題的追問，使學(xué)生對自己思維方式進(jìn)行有針對性的反思、調(diào)控，從而選擇最佳解題策略。
③學(xué)習(xí)習(xí)慣反思。
指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常反思自己對數(shù)學(xué)的興趣、學(xué)習(xí)信心和能力、學(xué)習(xí)的態(tài)度與情緒、存在的薄弱環(huán)節(jié)等，學(xué)會及時調(diào)整自己，改正不良習(xí)慣，積極向上，通過引導(dǎo)學(xué)生反思使學(xué)生的思維能力得到有效的培養(yǎng)和開發(fā)。
(11)完善認(rèn)識結(jié)構(gòu)，優(yōu)化思維品質(zhì)
知識是思維的基礎(chǔ)，沒有一定的知識積累，思維過程就無法進(jìn)行。
學(xué)生只有掌握了科學(xué)的符合邏輯結(jié)構(gòu)的規(guī)律性的知識，才能通過運(yùn)用這些知識作為分析、綜合、判斷、推理的基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)知識的遷移。
因此，要特別重視數(shù)學(xué)基本概念、基本原理的教學(xué)，不僅要講清每一章節(jié)的知識結(jié)構(gòu)，同時，還要注意各學(xué)科間知識的橫向聯(lián)系。
學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)越完整，思維的依據(jù)就越充分，思維過程就越容易進(jìn)行。
①注重數(shù)學(xué)知識的整體性。
數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)化的學(xué)科，數(shù)學(xué)各個分支、各章節(jié)內(nèi)容之間是互相滲透、相互蘊(yùn)含的，數(shù)學(xué)知識是充滿關(guān)系的有機(jī)整體。
在平時的教學(xué)中，既要注意知識面之間的縱向聯(lián)系，把孤立的知識組成知識鏈，又要注意知識之間的橫向聯(lián)系，把知識鏈進(jìn)一步組成知識網(wǎng)，使學(xué)生在頭腦里形成一個經(jīng)緯交織、融會貫通的知識網(wǎng)絡(luò)，以利于塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的遷移能力，進(jìn)而從不同角度激活思維的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性。
�、诮沂局R形成的過程。
知識形成過程是構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)的物質(zhì)基礎(chǔ)。
首先，要強(qiáng)調(diào)揭示知識發(fā)生的過程，因?yàn)楦拍畹母爬ㄅc判斷及推理過程包含著極豐富的推理方法、思想方法和思維方法，它們是知識結(jié)構(gòu)中的活躍元素。
要注意充分地揭示概念提出的背景，引導(dǎo)學(xué)生去探索概念的抽象、概括的過程，揭示概念形成的條件和發(fā)生過程。
其次，要強(qiáng)調(diào)知識的發(fā)展、深化過程，這是知識形成過程最關(guān)鍵的一環(huán)，是數(shù)學(xué)教學(xué)過程的主干。
要在學(xué)生頭腦中織成知識的經(jīng)緯和網(wǎng)絡(luò)，壘砌知識的框架與結(jié)構(gòu)。
再次，要著眼于知識應(yīng)用的過程。
因?yàn)橹挥性谥R的應(yīng)用過程中，學(xué)生才能更深入地了解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能悟出帶有觀念性的數(shù)學(xué)思考，才能有效地從整體上認(rèn)識數(shù)學(xué)。
實(shí)踐表明，這樣做不僅能夠利于學(xué)生對概念的記憶、理解和掌握，而且能夠鍛煉學(xué)生善于透過紛繁復(fù)雜的表面現(xiàn)象去發(fā)現(xiàn)問題的實(shí)質(zhì)，揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。
�、厶釤挃�(shù)學(xué)思想方法。
數(shù)學(xué)思想方法形成于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的建立和數(shù)學(xué)問題的解決過程中，它具有極高的概括性和包容性。
學(xué)生一旦掌握它，就能觸類旁通，并形成創(chuàng)新能力。
因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要注重數(shù)學(xué)思想方法的提煉。
(12)構(gòu)建數(shù)學(xué)模式，發(fā)展思維能力
數(shù)學(xué)是研究“量化模式”的科學(xué)。
數(shù)學(xué)是充滿模式的，法則是模式，一個確定的數(shù)學(xué)關(guān)系是一個模式，算法、規(guī)范式也是一個模式。
在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解題模式，不但可以向?qū)W生展示一些典型問題的解決過程，而且向?qū)W生提供了大量的“已知的、熟悉的、能解的問題”，為化歸思想提供了若干重要的升降基地，成為解決新問題時的新的憑借與依托。
因此，建構(gòu)模式、認(rèn)識模式、欣賞模式、理解和記憶模式、強(qiáng)化和應(yīng)用模式，無論對于鞏固與應(yīng)用學(xué)生已學(xué)的數(shù)學(xué)知識，還是對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能都有著不可替代的作用。
加強(qiáng)數(shù)學(xué)模式的教學(xué)是信息化社會對數(shù)學(xué)教育提出的新的要求，它能幫助學(xué)生從眾多信息中篩選有用的關(guān)鍵信息，提高分析問題的能力。
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